Cercle d'Apol·loni

De Viquipèdia

El cercle d'Apol·loni és el lloc geomètric dels punts la raó de distàncies dels quals a dos punts donats és constant. A la figura, per a tots els punts P del cercle, la raó és constant i el cercle és el cercle d'Apol·loni dels punts A i B i la raó k.

---

Que el lloc geomètric dels punts, la raó de distàncies dels quals a dos punts donats és constant, és un cercle es pot demostrar fàcilment: Siguin A i B els dos punts, U i V dos punts sobre la recta AB que fan i P un punt fora de la recta AB que també fa . Ara considerem els segments UP i VP i els segments AM i AN que els són respectivament paral·lels. Segons el teorema de Tales,

cosa que, amb les hipòtesis inicials, implica

i, per tant, MP = NP = AP i els triangles APN i APM són isòsceles. En conseqüència,

però

i

tot obtenint que

i

En conseqüència, els segments UP i VP són perpendiculars i per tant, el punt P és sobre el cercle de diàmetre UV, que és el cercle d'Apol·loni del cas.