La teoría de grupos

En álgebra abstracta , la teoría de grupos estudia las estructuras algebraicas conocidas como grupos . Un grupo es una establecer G (el conjunto subyacente) cerrado bajo un binario operación satisfacer tres axiomas:

1. La operación es asociativa .
2. La operación tiene una elemento de identidad.
3. Cada elemento tiene una elemento inverso.

(Siga leyendo para conocer las definiciones más precisas.)

Grupos están construyendo bloques de más elaboradas estructuras algebraicas como anillos, campos y espacios vectoriales , y se repiten a lo largo de las matemáticas. La teoría de grupos tiene muchas aplicaciones en la física y la química , y es potencialmente aplicable en cualquier situación que se caracteriza por la simetría .

El orden de un grupo es la cardinalidad de G; grupos pueden ser de finito o orden infinito. La clasificación de los grupos finitos simples es un importante logro matemático del siglo 20.

Conceptos de la teoría de grupo

Para los no matemáticos

Un grupo consiste en una colección de objetos abstractos o símbolos, y una regla para la combinación de ellos. La regla de combinación indica cómo estos objetos son para ser manipulado. De ahí que los grupos son una manera de hacer las matemáticas con símbolos en lugar de números concretos.

Más precisamente, se puede hablar de un grupo cada vez que un establecer, junto con una operación que siempre combina dos elementos de este conjunto, por ejemplo, una x b, siempre cumple con los siguientes requisitos:

1. La combinación de dos elementos del conjunto se obtiene un elemento del mismo conjunto ( cierre);
2. El horquillado no es importante ( asociatividad ): a × (b × c) = (a × b) × c;
3. Hay un elemento que no causa nada suceda ( elemento de identidad): a × 1 = 1 × a = a;
4. Cada elemento de una tiene una "imagen especular" ( elemento inverso) 1 / a que tiene la propiedad de producir el elemento de identidad cuando se combina con un: a × 1 / a = 1 / a × a = 1

Caso especial: Si el orden de los operandos no afecta el resultado, es decir, si a × b = b × a tiene ( conmutatividad ), entonces hablamos de un grupo abeliano.

Algunos ejemplos numéricos sencillos de grupos abelianos son:

• Enteros con la operación de suma "+" como operación binaria y cero como elemento de identidad
• Numeros racionales sin cero con la multiplicación "x" como operación binaria y el número uno como elemento de identidad. Zero tiene que ser excluido debido a que no tiene un elemento inverso. ("1/0" no está definido.)

Esta definición de grupos es deliberadamente muy general. Le permite a uno a tratar como grupos no sólo conjuntos de números con las operaciones correspondientes, sino también otros objetos abstractos y símbolos que cumplen con las propiedades requeridas, tales como polígonos con sus rotaciones y reflexiones en grupos diedros.

James Newman resume la teoría de grupos de la siguiente manera:

Definición de un grupo

Un grupo (G, *) es una establecer G cerrado bajo una operación binaria * satisface la siguiente 3 axiomas:

• Asociatividad : Para todo a, b y c en G, (a * b) * c = a * (b * c).
• Elemento de identidad: No existe un e ∈ G tal que para todo a en G, e * a = a * e = a.
• Elemento inverso: Para cada una en G, hay un elemento b en G tal que a * b = b * a = e, donde e es el elemento de identidad.

En la terminología de álgebra universal, un grupo es una variedad, y una álgebra de tipo .

Subgrupos

Un conjunto H es una subgrupo de un grupo G si es un subconjunto de G y es un grupo con la operación definida en G. En otras palabras, H es un subgrupo de (G, *) si la restricción de * a H es una operación de grupo en H.

Un subgrupo H es una subgrupo normal de G si para todo h en H y g en G, gei ^-1 es también en H. Una alternativa (pero equivalente) definición es que un subgrupo es normal si su izquierda y la derecha clases laterales coinciden. Subgrupos normales juegan un papel distinguido por virtud del hecho de que la recogida de clases laterales de un subgrupo normal N en un grupo G hereda de forma natural una estructura de grupo, lo que permite la formación de la grupo cociente, por lo general denota G / N (también llamado a veces un grupo de factores).

Las operaciones que implican grupos

La homomorfismo es un mapa entre dos grupos que conserva la estructura impuesta por el operador. Si el mapa es biyectiva, entonces es una isomorfismo. Un isomorfismo de un grupo a sí mismo es una automorfismo. El conjunto de todos los automorfismos de un grupo es un grupo llamado el grupo de automorfismos. La núcleo de un homomorfismo es un subgrupo normal del grupo.

La la acción de grupo es un mapa de la participación de un grupo y un conjunto, donde cada elemento en el grupo define un mapa biyectiva en un conjunto. Las acciones de grupo se utilizan para probar la Sylow teoremas y para demostrar que el centro de una p-grupo es no trivial.

Los tipos especiales de grupos

Un grupo es:

• Abelian (o conmutativa ) si sus desplazamientos de productos (es decir, para todo a, b en G, a * b = b a *). Un grupo no abeliano es un grupo que no es abeliano. El término "abeliano" honra el matemático Niels Abel.

• Cíclico si es generada por un solo elemento.

• Simple si no tiene subgrupos normales no triviales.

• Soluble (o soluble) si tiene una series normales cuya grupos cocientes son todos abeliano. El hecho de que S _5, la grupo simétrico en 5 elementos, no tiene solución se utiliza para demostrar que algunos polinomios de quinto grado no pueden ser resueltos por los radicales.

• Libre si existe un subconjunto de G, H, de tal manera que todos los elementos de G se pueden escribir únicamente como productos (o cadenas) de elementos de H. Cada grupo es el imagen homomórfica de algún grupo libre.

Algunos teoremas útiles

Algunos resultados básicos en la teoría elemental de grupos :

• Teorema de Lagrange: si G es un grupo finito y H es un subgrupo de G, entonces el orden (es decir, el número de elementos) de H divide el orden de G.
• Teorema de Cayley: cada grupo G es isomorfo a un subgrupo de la grupo simétrico de G.
• Sylow teoremas: si p ⁿ (y primo p) es la mayor potencia de p que divide el orden de un grupo finito G, entonces existe un subgrupo de orden p ^n. Este es quizás el resultado básico de gran utilidad en los grupos finitos.
• La Mariposa lema es un resultado técnico en el celosía de subgrupos de un grupo.
• La Teorema fundamental de homomorfismos relaciona la estructura de dos objetos entre los cuales se da un homomorfismo, y del kernel y la imagen del homomorfismo.
• Jordan-Hölder teorema: cualquier serie dos composición de un grupo dado son equivalentes.
• Krull-Schmidt teorema: un grupo G satisfacer ciertas condiciones finitud para las cadenas de sus subgrupos, se puede escribir únicamente como un producto directo finito de subgrupos indescomponibles.
• El lema de Burnside: el número de órbitas de un la acción de grupo en un conjunto es igual al número promedio de puntos fijados por cada elemento del grupo.

Conexión de grupos y simetría

Dado un objeto estructurado de cualquier tipo, una simetría es un mapeo del objeto en sí mismo, que conserva la estructura. Por ejemplo, las rotaciones de una esfera son simetrías de la esfera. Si el objeto es un conjunto con ninguna estructura adicional, una simetría es una mapa biyectiva del conjunto a sí mismo. Si el objeto es un conjunto de puntos en el plano con su estructura métrica, una simetría es una biyección del conjunto a sí mismo que conserva la distancia entre cada par de puntos (una isometría).

Los axiomas de un grupo formalizan los aspectos esenciales de la simetría .

1. Clausura de la ley de grupo - Esto dice que si usted toma una simetría de un objeto, y luego aplicar otra simetría, el resultado seguirá siendo una simetría.
2. La existencia de una identidad - Esto dice que mantiene el objeto fijo es siempre una simetría de un objeto.
3. La existencia de inversos - Este dice que cada simetría se puede deshacer.
4. Asociatividad - Desde simetrías son funciones en un espacio y composición de funciones se asociativo, se necesita este axioma para hacer un grupo formal se comportan como funciones.

El teorema de Frucht dice que cada grupo es el grupo de simetría de algunas gráfico. Así que cada grupo abstracto es en realidad las simetrías de un objeto explícito.

Aplicaciones de la teoría de grupos

Algunas aplicaciones importantes de la teoría de grupos incluyen:

• Los grupos se utilizan a menudo para capturar la simetría interna de otras estructuras. Una simetría interna de una estructura se asocia generalmente con una propiedad invariante; el conjunto de transformaciones que conservan esta propiedad invariante, junto con la operación de composición de transformaciones, forman un grupo llamado una grupo de simetría. Véase también grupo de automorfismos.

• Galois teoría , que es el origen histórico del concepto de grupo, utiliza grupos para describir las simetrías de las raíces de un polinomio (o más precisamente los automorfismos de las álgebras generadas por estas raíces). Los grupos que tienen solución se llaman así, debido a su papel prominente en esta teoría. La teoría de Galois fue utilizado originalmente para probar que los polinomios de quinto grado y superior no pueden, en general, ser resueltos en forma cerrada por los radicales, la forma en que los polinomios de grado menor pueden.

• Grupos abelianos, que añaden la propiedad conmutativa a * b = b * a, subyacen varias otras estructuras en álgebra abstracta, como anillos, campos y módulos.

• En topología algebraica, los grupos se utilizan para describir invariantes de espacios topológicos. Se les llama "invariantes" porque se definen de tal manera que no cambian si el espacio es sometido a una cierta deformación. Algunos ejemplos son el grupo fundamental, grupos de homología y grupos de cohomología. El nombre del subgrupo de torsión de un grupo infinito muestra el legado de topología en la teoría de grupos.

• El concepto de la Grupo de Lie (llamado así por el matemático Sophus Lie) es importante en el estudio de las ecuaciones diferenciales y colectores ; que describen las simetrías de estructuras geométricas y analíticos continuos. Análisis sobre estos y otros grupos se llama análisis armónico.

• En la combinatoria , la noción de permutación grupo y el concepto de la acción de grupo a menudo se utilizan para simplificar el cómputo de un conjunto de objetos; véase en particular El lema de Burnside.

• La comprensión de la teoría de grupos es también importante en la física y la química y la ciencia de los materiales. En física, los grupos son importantes porque describen las simetrías que las leyes de la física parecen obedecer. Los físicos están muy interesados en las representaciones del grupo, especialmente de Grupos de Lie, ya que estas representaciones a menudo señalan el camino a los "posibles" teorías físicas. Ejemplos del uso de los grupos en la física incluyen: Modelo estándar , Teoría Gauge, Grupo de Lorentz, Grupo de Poincaré

• En química , los grupos se utilizan para clasificar las estructuras cristalinas, poliedros regulares, y la simetrías de moléculas. Los grupos de puntos asignados a continuación, pueden ser utilizados para determinar las propiedades físicas (tales como polaridad y quiralidad), propiedades espectroscópicas (particularmente útiles para Espectroscopia de Raman y La espectroscopía infrarroja), y construir orbitales moleculares.

• La teoría de grupos se utiliza ampliamente en criptografía de clave pública. En Elíptica-criptografía de curva, muy grandes grupos de primer orden se construyen mediante la definición de las curvas elípticas sobre campos finitos.

Historia

Hay tres raíces históricas de la teoría de grupos: la teoría de la ecuaciones algebraicas, teoría de números y geometría . Euler , Gauss , Lagrange , Abel y matemático francés Galois fueron los primeros investigadores en el campo de la teoría de grupos. Galois es honrada como la teoría de grupos que une primer matemático y la teoría del campo, con la teoría de que ahora se llama la teoría de Galois .

Una fuente temprana se produce en el problema de la formación de una ecuación º grado que tiene como sus raíces m de las raíces de un dado ecuación º grados ( ). Para casos sencillos el problema se remonta a Hudde (1659). Saunderson (1740) observó que la determinación de los factores cuadráticos de una expresión biquadratic conduce necesariamente a una Ecuación de sexto grado, y Le Sœur (1748) y Waring (1762-1782) todavía elaboró aún más la idea.

Una base común para la teoría de ecuaciones sobre la base del grupo de permutaciones se encontró por el matemático Lagrange (1770, 1771), y sobre esta se construyó la teoría de sustituciones. Descubrió que las raíces de todos los resolventes (résolvantes, réduites) los que afrontó son funciones racionales de las raíces de las ecuaciones respectivas. Para el estudio de las propiedades de estas funciones se inventó un Calcul des Combinaisons. La obra contemporánea de Vandermonde (1770) también presagió la venida teoría.

Ruffini (1799) intentó una prueba de la imposibilidad de resolver el quintic y ecuaciones más altas. Ruffini distingue lo que ahora se llama intransitivo y transitiva, y imprimitive y grupos primitivos, y (1801) utiliza el grupo de una ecuación con el nombre de l'assieme delle permutazioni. También publicó una carta de Abbati a sí mismo, en el que el grupo idea es prominente.

Galois encontró que si son los raíces de una ecuación, siempre hay un grupo de permutaciones de la 'S tal que (1) todas las funciones de las raíces invariables por las sustituciones del grupo es conocido racionalmente, y (2), por el contrario, cada función racionalmente determinable de las raíces es invariante bajo las sustituciones del grupo. Galois también contribuyó a la teoría de la ecuaciones modulares y a la de funciones elípticas. Su primera publicación en la teoría de grupos se realizó a la edad de dieciocho años (1829), pero sus contribuciones atrajo poca atención hasta la publicación de sus trabajos reunidos en 1846 (Liouville, Vol. XI).

Arthur Cayley y Augustin Louis Cauchy fueron de los primeros en apreciar la importancia de la teoría, y para este último sobre todo se deben varios teoremas importantes. El tema fue popularizado por Serret, que dedicó la sección IV de su álgebra a la teoría; por Camille Jordan, cuya Traité des Sustituciones es un clásico; y para Eugen Netto (1882), cuya Teoría de Sustituciones y sus Aplicaciones a Algebra fue traducido al Inglés por Cole (1892). Otros teóricos del grupo del siglo XIX fueron Bertrand, Charles Hermite, Frobenius, Leopold Kronecker, y Emile Mathieu.

Walther von Dyck fue el primero (en 1882) para definir un grupo en el sentido abstracto lleno de esta entrada.

El estudio de lo que ahora se llaman Acuéstese grupos, y su subgrupos discretos, como grupos de transformación, comenzaron sistemáticamente en 1884 con Sophus Lie; seguido por el trabajo de Matar, Estudio, Schur, Maurer, y Cartan. El discontinua ( grupo discreto) teoría fue construido por Felix Klein, Lie, Poincaré, y Charles Émile Picard, en relación en particular con formas modulares y monodromía.

La clasificación de grupos simples finitos, es una vasta obra de mediados del siglo 20, la clasificación de todo el finito grupos simples.

Otros contribuyentes importantes a la teoría de grupos incluyen Emil Artin, Emmy Noether , Sylow, y muchos otros.

Alfred Tarski demostró la teoría elemental de grupos indecidible.

Miscelánea

Una aplicación de la teoría de grupos es la teoría de conjuntos musicales.

En filosofía , Ernst Cassirer teoría de grupos relacionados con la teoría de la percepción de Psicología Gestalt. Tomó el La constancia perceptual de que la psicología como análoga a la invariantes de la teoría de grupos.