Lois de Snell-Descartes

Les lois de Snell-Descartes décrivent le comportement de la lumière à l'interface de deux milieux. Ces lois sont au nombre de deux, une pour la réflexion et une pour la réfraction. Avec la propagation rectiligne de la lumière dans les milieux homogènes et isotropes, ces lois sont à la base de l'optique géométrique.

Le profil célérimétrique et la loi de Snell déterminent la trajectoire des rayons dans l'eau. La même loi permet de déterminer la courbure idéale de la cornée d'un oeil dans l'atmosphère ou dans le milieu aquatique. Cette loi explique aussi le rapport mathématique simple qui existe entre l'angle d'incidence d'un rayon lumineux et son angle réfracté par l'eau ou encore le phénomène dit fenêtre de Snell.

Historique

Reproduction d'un manuscrit de Ibn Sahl contenant sa découverte des lois de la réfraction.

La découverte de la loi de la réfraction est attribuée à Ibn Sahl (c. 940-1000)^[1] en 983. La loi est représentée sur la figure ci-contre par les deux triangles en haut à gauche. Ibn Sahl utilisa cette loi pour concevoir une lentille de forme hyperbolique, à focalisation parfaite (un faisceau de rayon parallèles converge alors exactement au même point : le foyer).

Cependant, le traité d'Ibn Sahl reste énigmatique, car la relation apparait sans donnée expérimentale, ni fondement théorique^[2]. De plus, aucune constante équivalente à l'indice optique n'est définie^[2]. En outre, Il est difficile de croire qu'Ibn al-Haytham (Alhazen) n'ait pas repris la découverte fondamentale de son maitre Ibn Sahl^[2]. La loi semble simplement avoir été oubliée. Une interprétation possible est qu'il s'agisse d'un exercice de conception de lentille, considéré dans le domaine purement géométrique, sans que la loi physique soit établie^[2].

Plus tard, la théorie de l'arc-en-ciel est connue dans le monde musulman (Al Farisi^[3]).

Ensuite, grâce à la traduction latine du traité d'optique d'Ibn al-Haytham, l'optique se répand en Europe : Oxford (Robert Grossetête, Roger Bacon), Paris, Prague. La loi des petits angles est connue : Witelo (dit Vitellion) aurait repris les tables expérimentales de déviation établies par Ptolémée, mais c'est ensuite Kepler qui, dans les Paralipomènes à Vitellion, a énoncé explicitement la relation entre les (petits) angles d'incidence et de réfraction. Thomas Harriot est crédité d'avoir dressé des tables via la loi des sinus (1601) et d'expliquer l'arc-en-ciel (1606) ; mais il ne publie pas.

Snell développe ses travaux, en même temps qu'il publie sa table des sinus (1621).
Descartes publiera, en 1637, la loi dans son traité La Dioptrique (en annexe du Discours de la méthode) .
Les lois de Snell-Descartes peuvent être entièrement déduites du principe de Fermat, et en physique moderne des équations de Maxwell de l'électromagnétisme.

En Europe occidentale, la querelle de priorité - Snell ou Descartes ? - fut abondamment débattue ; compte tenu de Ibn Sahl, Harriot, Kepler, c'est une « ancienne » querelle (voir controverses du cartésianisme, dioptrique).

L'ancienne querelle

En Europe occidentale, l'énoncé de la loi des sinus est attribuée à la fois à Descartes et à Snell, et ce fait sera l'objet d'une querelle de priorité si fréquente à cette époque ( début du XVIIe) : la polémique portant sur la question de savoir si Descartes a lui-même découvert cette loi ou simplement eu connaissance de celle établie peu de temps auparavant par Snell, ce dernier étant décédé sans l’avoir publiée. Si Leibniz et Huygens considéraient qu’en effet Descartes ne pouvait pas avoir été sans connaître la loi énoncée par Snell, les avis des historiens ne sont pas si tranchés. B. Maitte^[4] évoque la connaissance que Descartes aurait eue du manuscrit de Snell non publié (qui, selon J.-P. Maury^[5], aurait été confié à Rivet, professeur de théologie en relation avec le Père Mersenne^[6], lui-même correspondant beaucoup avec Descartes). Mais selon P. Costabel^[7] il n’y a aucune preuve en l’état actuel de la documentation historique quant au fait que Descartes ait eu communication du résultat de Snell. D’autres auteurs évoquent l’antériorité de Harriot qui aurait trouvé ladite loi mais n’aurait fourni à Kepler que les tables des mesures sans l’interprétation.

Les documents historiques actuellement retrouvés ne permettent pas de connaître la démarche de Snell. Pour ce qui concerne Descartes, quelques indications conduisent à considérer que l’idée des sinus fut directement liée à la recherche de la forme d’une lentille dite "parfaite", c’est-à-dire capable de faire converger exactement en un point un faisceau de rayons parallèles. Le profil pressenti du dioptre était celui d’une hyperbole et c’est l’étude géométrique de ce profil – qualifié d’anaclastique – qui a conforté Descartes dans le bien-fondé d’une loi en sinus : la conviction, pour ne pas dire la preuve, a résulté d’un ensemble de considérations, expérimentales (fabrication à la limite du possible d’une telle lentille par Ferrier) et théoriques (démonstration que la forme hyperbolique correspondait bien à une relation entre les sinus des angles par le géomètre Mydorge et par le mathématicien Beeckman). Ajoutons ici que cette préoccupation est née de l’invention de la lunette, lunette améliorée par Galilée et transmise à Kepler qui en a donné une première explication.

Loi de Snell-Descartes pour la réflexion

Schéma de principe de la loi de la réflexion : les faisceaux incidents et réfléchis forment avec la normale le même angle, qu'il faut orienter correctement.

Le rayon lumineux est dit incident avant d'avoir rencontré la surface réfléchissante, il est dit réfléchi après.

Le point de rencontre du rayon incident et de la surface réfléchissante est appelé point d'incidence.

La droite orthogonale à la surface réfléchissante au point d'incidence est appelée normale (à la surface réfléchissante).

Le plan contenant le rayon incident et la normale à la surface réfléchissante au point d'incidence est dit plan d'incidence.

L'angle orienté θ₁ pris entre la normale au point d'incidence et le rayon incident est dit angle d'incidence.

L'angle orienté θ₂ pris entre la normale au point d'incidence et le rayon réfléchi est dit angle de réflexion.

Les angles θ₁ et θ₂ sont positifs si orientés dans le sens trigonométrique, négatifs sinon. Attention : certains auteurs utilisent d'autres conventions.

La loi de la réflexion s'énonce ainsi :

le rayon réfléchi est dans le plan d'incidence
les angles incidents et réfléchis sont égaux en valeurs absolues ; $\theta_1$ et $\theta_2$ vérifient : $\theta_2=-\theta_1\,$

Loi de Snell-Descartes pour la réfraction

Schéma de la réfraction : le faisceau incident va être dévié selon la loi dite de Snell-Descartes.

Au-delà d'une certaine inclinaison, les rayons ne franchissent plus le dioptre : ils sont réfléchis. C'est ce qui explique l'effet miroir qui apparait hors de la fenêtre de Snell

La loi de Snell-Descartes de la réfraction exprime le changement de direction d'un faisceau lumineux lors de la traversée d'une paroi, séparant deux milieux différents. Chaque milieu est caractérisé par sa capacité à « ralentir » la lumière, modélisée par son indice de réfraction $n$ qui s'exprime sous la forme :

n=\frac{c}{v}

où $v$ est la vitesse de la lumière dans ce milieu et $c$ est la vitesse de la lumière dans le vide.

Le rayon lumineux est dit incident avant d'avoir rencontré la surface réfractante (appelée dioptre), il est dit réfracté après.

Le point de rencontre du rayon incident et du dioptre est appelé point d'incidence.

Le plan contenant le rayon incident et la normale au dioptre, au point d'incidence est dit plan d'incidence.

L'angle orienté θ₁ pris entre la normale au point d'incidence et le rayon incident est dit angle d'incidence.

L'angle orienté θ₂ pris entre la normale au point d'incidence et le rayon réfracté est dit angle de réfraction.

Les angles θ₁ et θ₂ sont positifs si orientés dans le sens trigonométrique, négatifs sinon.

Soit n₁ l'indice de réfraction du milieu dans lequel se propage le rayon incident et n₂ celui du milieu dans lequel se propage le rayon réfracté.

La loi de la réfraction s'énonce ainsi :

le rayon réfracté est dans le plan d'incidence
la relation liant les indices de réfraction $n_1$ et $n_2$ de chacun des milieux et les angles incident $\theta_1$ et réfracté $\theta_2$ , appelée relation de Snell-Descartes, s'écrit :

n_1\cdot\sin(\theta_1)=n_2\cdot\sin(\theta_2)

Pour $n_1$ > $n_2$ (et respectivement $n_1$ < $n_2$ ) le rayon réfracté (ou incident) se rapproche plus rapidement du dioptre que le rayon incident (ou réfracté). Quand le rayon réfracté (ou incident) se retrouve mathématiquement sur le dioptre (sa limite) il y a alors réflexion totale.

Les lois empiriques de la réflexion et de la réfraction peuvent être interprétées par différents modèles : modèle ondulatoire de Huygens (principe de Huygens), modèle de moindre action de Fermat (principe de Fermat), modèle de l'onde électromagnétique de Maxwell.

Les lois de Snell-Descartes sont également utilisées dans la réflexion des ultrasons.

Forme vectorielle des lois de Snell-Descartes

La forme vectorielle permet d'exprimer les vecteurs directeurs des rayons réfléchi et réfracté à partir du vecteur directeur du rayon incident. Le résultat est identique à celui des formes scalaires, mais sous forme de vecteurs au lieu d'angles.

Étant donné le vecteur directeur I du rayon incident (en provenance d'une source lumineuse et en direction du dioptre) et le vecteur normal n au plan incident, on a^[8] :

\cos\theta_1=\mathbf{n}\cdot (-\mathbf{I})

\cos\theta_2=\sqrt{1-\left(\frac{n_1}{n_2}\right)^2\left(1-\left(\cos\theta_1\right)^2\right)}

\mathbf{v}_{\mathrm{reflechi}}=\mathbf{I}+\left(2\cos\theta_1\right)\mathbf{n}

\mathbf{v}_{\mathrm{refracte}}=\left(\frac{n_1}{n_2}\right)\mathbf{I} + \left( \frac{n_1}{n_2}\cos\theta_1 - \cos\theta_2\right)\mathbf{n}

Note : $\mathbf{n}\cdot(-\mathbf{I})$ doit être positif. Sinon, il faut utiliser

\mathbf{v}_{\mathrm{refracte}}=\left(\frac{n_1}{n_2}\right)\mathbf{I} + \left(\frac{n_1}{n_2}\cos\theta_1 + \cos\theta_2\right)\mathbf{n}.

La réflexion totale a lieu quand le radicande de la formule de $\cos\theta_2$ est négatif.

Généralisation des lois de la réflexion et de la réfraction

En octobre 2011, un groupe de chercheurs internationaux travaillant à l'université Harvard aux États-Unis ont généralisé les lois de la réflexion et de la réfraction^[9]. L'idée consiste à modifier l'interface séparant les deux milieux de façon à introduire un déphasage sur le faisceau lumineux qui ne soit plus uniforme mais qui dépend de l'espace. Pour ce faire, ils ont décoré l'interface avec une matrice d'antennes plasmoniques de taille nanoscopique, qui permettent d'introduire un gradient de phase constant le long de l'interface.

Les nouvelles lois de la réflexion et de la réfraction sont obtenues en considérant le principe de Fermat, prenant en compte ce gradient de phase. La taille des antennes plasmoniques utilisées étant beaucoup plus petite que la longueur d'onde de la lumière, le gradient de phase est introduit de façon soudaine lors de la traversée de l'interface, découplant ainsi la phase accumulée lors de la propagation et le saut de phase introduit par les nanostructures.

La loi généralisée de la réfraction s'énonce alors ainsi :

n_2\cdot\sin(\theta_2)- n_1\cdot\sin(\theta_1)= \lambda/(2 \pi)\cdot d\phi/dx

où $d\phi/dx$ représente le gradient de phase introduit de façon soudaine à l'interface.

La loi généralisée de la réflexion s'énonce :

\sin(\theta_r)-\sin(\theta_i)=\lambda/(2 \pi n_i)\cdot d\phi/dx

où $\theta_{i,(r)}$ représente l'angle d'incidence (réflexion). La loi de la réflexion est surprenante : l'angle de réflexion n'est plus nécessairement égal à l'angle d'incidence.

Notes et références

↑ (en) A. Kwan, J. M. Dudley, E. Lantz, "Who really discovered Snell's law?", Physics World 15 (2002): 64-84. et Roshdi Rashed, Geometry and Dioptrics in Classical Islam (London: al-Furqan, 2005), XIII-1178-VI p., ISBN 1 873992 99 8
1 2 3 4 (en) Gorden Videen "Whose Law of Refraction?", Optics and Photonics News, published by OSA http://www.osa-opn.org/print.aspx?path=%2FArchives%2F0508%2Fdepartments%2Fviewpoint.aspx
↑ R. Rashed, « Le modèle de la sphère transparente et l'explication de l'arc-en-ciel : Ibn al-Haytham - al-Farisi », Revue d'histoire des sciences et de leurs applications, n^o 23-2,‎ 1970, p. 109-140 (lire en ligne).
↑ B. Maitte Histoire de l’arc-en-ciel. Paris : Seuil, Science ouverte, 2005
↑ J.-P. Maury À l’origine de la recherche scientifique : Mersenne. Paris : Vuibert, 2003
↑ B. Rochot La correspondance scientifique du père Mersenne. Paris : Palais de la Découverte, 1966.
↑ P. Costabel Démarches originales de Descartes savant. Paris : Vrin, 1982.
↑ (en) Andrew S. Glassner, An Introduction to Ray Tracing, Morgan Kaufmann,‎ 1989 (ISBN 0122861604, lire en ligne)
↑ Nanfang Yu, Patrice Genevet, Mikhail Kats, Francesco Aieta, Jean-Philippe Tetienne, Federico Capasso, Zeno Gaburro, Light Propagation with Phase Discontinuities: Generalized Laws of Reflection and Refraction, Science, 334, 333, 2011.

Bibliographie

Pour l'histoire de l'optique :

M. Blay Les Figures de l’arc-en-ciel. Paris : Belin, coll. Pour la science, 2005.
V. Ronchi Histoire de la lumière, (réimpr.), Paris : Ed. Jacques Gabay, 1996.

Articles connexes

Réfraction, réflexion optique
Principe de Huygens
Principe de Fermat
Réfractométrie

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