Funzione olomorfa

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Le funzioni olomorfe sono gli oggetti principali degli studi dell'analisi complessa; esse sono funzioni definite su un sottoinsieme aperto del piano dei numeri complessi $\mathbb C$ con valori in $\mathbb C$ che sono differenziabili in senso complesso in ogni punto del loro dominio.

La differenziabilità in senso complesso di una funzione complessa è una condizione molto più stringente della differenziabilità reale in quanto implica che la funzione è infinite volte differenziabile e che può essere completamente individuata dalla sua serie di Taylor: per questo motivo si usa spesso il termine funzione analitica come sinonimo di "funzione olomorfa".

[modifica] Definizione

Sia $U$ un sottoinsieme aperto del piano complesso $\mathbb C$ . Una funzione

$f:U\to\mathbb C$

è differenziabile in senso complesso (in breve $\mathbb C$ -differenziabile) in un punto $z 0$ di $U$ se esiste il limite

$f'(z_0) = \lim_{z \rightarrow z_0} {f(z) - f(z_0) \over z - z_0 }.$

Il limite va inteso in relazione alla topologia del piano. In altre parole, per ogni successione di numeri complessi che convergono a $z 0$ il rapporto incrementale deve tendere allo stesso numero, indicato con $f'(z 0)$ .

Se $f$ è differenziabile in senso complesso in ogni punto $z 0$ di $U$ , essa è una funzione olomorfa su $U$ .

[modifica] Proprietà di base

[modifica] Relazione con la differenziabilità

Tramite l'identificazione standard di $\mathbb C$ con $\R^2$ , una funzione olomorfa è in particolare una funzione differenziabile da un aperto di $\R^2$ in $\R^2$ . Non è però vero l'opposto: una funzione differenziabile non è necessariamente olomorfa. Le equazioni di Cauchy-Riemann descrivono una condizione necessaria e sufficiente affinché una funzione differenziabile sia olomorfa.

[modifica] Operazioni

Le usuali regole di derivazione definite solitamente in ambito reale restano valide nel campo complesso.

[modifica] Mappa conforme

Una funzione olomorfa avente derivata sempre diversa da zero è una mappa conforme, una mappa che non cambia gli angoli (ma può cambiare aree e lunghezze). Infatti una funzione olomorfa con derivata non nulla è una funzione localmente approssimabile da una funzione lineare complessa del tipo

f (z) = a z

per qualche numero complesso $a\neq 0$ . Le mappe lineari di questo tipo sono conformi; infatti, scrivendo $a = r e i θ$ , si ottiene

f (z) = r e i θ

e quindi la moltiplicazione per $a$ è geometricamente la composizione di una rotazione di angolo $θ$ e di una omotetia di fattore $r$ : entrambe queste operazioni sono mappe conformi.

[modifica] Esempi

[modifica] Funzioni intere

Tutte le funzioni polinomiali nella variabile complessa $z$ con coefficienti complessi sono olomorfe sull'intero $\mathbb C$ , cioè sono funzioni intere.

Sono funzioni intere anche la funzione esponenziale complessa e le funzioni trigonometriche nella $z$ . (In effetti le funzioni trigonometriche sono esprimibili come composizioni di varianti della funzione esponenziale attraverso la formula di Eulero).

[modifica] Funzioni non intere

La funzione $f (z) = 1 / z$ è olomorfa sul piano complesso privato dell'origine:

$\mathbb C \setminus \{0\}$

Il ramo principale della funzione logaritmo $ln(z)$ è olomorfo sul piano complesso privato del semiasse reale positivo:

$\mathbb C \setminus \{z\in\R\ |\ z>0\}$

La funzione radice quadrata può essere definita come

$\sqrt{z} = e^{\frac{1}{2}\ln z}$

e di conseguenza è olomorfa in tutti i punti del piano complesso nei quali lo è la funzione logaritmo.

[modifica] Funzioni non olomorfe

Gli esempi base di funzioni complesse non olomorfe sono la coniugazione complessa, il passaggio alla parte reale e la funzione valore assoluto.

[modifica] Proprietà ulteriori

[modifica] Funzione analitica

Contrariamente a quanto accade per le funzioni derivabili in ambito reale, una funzione olomorfa è automaticamente derivabile infinite volte. La funzione è anche analitica: per ogni punto $z 0$ del dominio esiste un $r > 0$ tale che la propria serie di Taylor

$f(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(z)}{n!} (z-z_0)^n$

centrata in $z 0$ è convergente sul disco aperto di raggio $r$ centrato in $z 0$

$\Delta = \{z\ |\ |z-z_0|<r\}$

e coincide con $f$ su questo disco. In altre parole, una funzione olomorfa è localmente esprimibile come serie di potenze.

La serie di Taylor può convergere su un disco più grande, non necessariamente contenuto nel dominio: questo accade ad esempio nella funzione logaritmo definita sopra, qualora si prenda un punto $z 0$ vicino al semiasse reale. Questo fenomeno è chiamato prolungamento analitico.

[modifica] Formula di Cauchy

La formula integrale di Cauchy è uno strumento molto potente in analisi complessa, che non ha analogie nell'analisi reale. Tale formula mette in relazione il valore di una funzione in un punto con un integrale lungo una curva che lo racchiude.

[modifica] Teorema di Liouville

Il teorema di Liouville asserisce che una funzione intera non può avere modulo limitato su tutto il piano.

[modifica] Funzioni olomorfe in più variabili

Una funzione complessa di più variabili è una funzione del tipo

$f:A\to\mathbb C^n$

definita su un aperto $A$ di $\mathbb C^m$ . Questa è olomorfa in un punto se è localmente sviluppabile (all'interno di un polidisco, cioè all'interno di un prodotto cartesiano di dischi centrato nel punto) come serie di potenze convergente. Si osserva che questa condizione è più forte delle equazioni di Cauchy-Riemann; in effetti essa può essere espressa nella forma seguente:

Una funzione di più variabili complesse a valori complessi è olomorfa se e solo se soddisfa le equazioni di Cauchy-Riemann ed è localmente a quadrato sommabile.

[modifica] Biolomorfismi

Un biolomorfismo fra due insiemi aperti $A$ e $B$ di $\mathbb C^n$ è una funzione olomorfa

$f:A\to B \,\!$

che sia iniettiva, suriettiva, e la cui inversa è anch'essa olomorfa. In altre parole, un biolomorfismo è un isomorfismo nella categoria dell'analisi complessa.

Si dimostra in realtà che una funzione iniettiva è sempre un biolomorfismo sulla sua immagine; di conseguenza, una funzione olomorfa biunivoca è automaticamente un biolomorfismo.

[modifica] Voci correlate

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Categoria: Analisi complessa