Teorema de l'Huilier

De Viquipèdia

Notacions en un triangle esfèric

En trigonometria esfèrica, el torema de l'Huilier relaciona l'àrea d'un triangle esfèric amb la longitud dels seus costats ; per tant, constitueix una generalització de la fórmula d'Heró a una geometria no euclidiana.

En un triangle esfèric (veure figura adjunta) dibuixat sobre l'esfera de raidi R, del qual els costats tenen dimensions angulars a, b i c, s'escriu el semiperímetre

$p = \frac12 (a+b+c) \,$ .

El teorema de l'Huilier estipula que la superfície del triangle val

$S = 4R^2 \arctan\left\{\sqrt{\tan\left(\frac{p}2\right)\tan\left(\frac{p-a}2\right)\tan\left(\frac{p-b}2\right)\tan\left(\frac{p-c}2\right)}\right\}$ .

La fórmula d'Heró és el cas límit de la igualtat de damunt quan la curvatura de l'esfera es fa prou petita (el radi tendeix a infinit) i s'acosta a la geometria euclidiana: en efecte, quan a, b i c es fan petits respecte a 1 (R és gran respecte a BC, AC i AB) l'aproximació

$\tan x \approx \arctan x \approx x \,$