Sèrie de Fourier

De Viquipèdia

[edita] Evolució històrica

[edita] Context

Donada una funció periòdica f(t), per exemple de període 2 $\pi\$ , volem escriure-la com una combinació en la que intervinguin únicament sinus i cosinus, que són les funcions de període 2 $\pi\$ simples més conegudes:

$f(x) = a_0/2 + \sum_{n=0}^\infty [a_n \cos(nt) + b_n \sin(nt)]$

Aquesta sèrie rep el nom de sèrie trigonomètrica o Sèrie de Fourier.

Jean Baptiste Joseph Fourier, matemàtic i físic francès, autor de la Sèrie de Fourier

El problema de la representació d'una funció mitjançant una sèrie trigonomètrica sorgeix de la resolució d'equacions en derivades parcials. Pels voltant de 1750, J. d'Alembert, D. Bernoulli i L. Euler van estudiar l'equació d'ones que governa el problema de la corba vibrant, un problema plantejat y estudiat per B. Taylor que havia obtingut solucions en forma de funcions sinusoïdals. D'Alembert va donar una solució molt general i Euler va provar que si a l'instant inicial de la forma de la corda, apareix una combinació finita de sinus, llavors esdevindria el mateix que en qualsevol altra instant posterior. Publicant molt més tard, el 1777, les fórmules que permetien calcular els coeficients de la combinació. El 1753, Bernoulli va utilitzar aquesta representació per resoldre el problema de la corda vibrant per una posició inicial qualsevol, però la seva solució va suscitar molta controvèrsia. Va ser J. B. Fourier qui va reprendre un altre cop les idees d'Euler i Bernoulli i va obtenir resultats molt ajustats els experiments, col·locant l'estudi de les sèries trigonomètriques – que avui dia porten el seu nom- en el centre de l'escenari matemàtic del segle XIX. La teoria de les sèries de Fourier va ser una forta influència per l'anàlisi matemàtica i és avui una eina bàsica de l'enginyeria de telecomunicacions.

[edita] Periodicitat

En el camp de la teoria del senyal i la comunicació, quant t és la variable temporal, es diu que f(t) és un senyal periòdic en temps continu, i quan aquesta representació en sèrie de funcions trigonomètriques és correcta, podem dir que hem descompost el senyal en harmònics. A continuació estudiarem més a fons, com calcular els coeficients, alguns exemples i algunes propietats, així com la notació exponencial de les sèries de Fourier. Finalment considerarem senyals periòdics perquè ens resultaran més senzills pel seu estudi. Recordem que:

$f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ és periòdica de període $\ T > 0$

si és tal que

$\forall t \in \mathbb{R},\, f (t + T) = f(t)$

Pels casos en què les funcions no compleixen la periodicitat s'introdueix la Transformada de Fourier, que, encara que comparteix moltes característiques i propietats amb la Transformada de Laplace, s'utilitzen en contextos diferents.

[edita] Definició

Les Sèries de Fourier descriuen els senyals periòdics com a combinació de senyals harmònics (sinusoïdals).
Amb aquesta eina podem analitzar un senyal periòdic en termes del seu contingut freqüèncial o espectre.
Ens permet establir una dualitat entre temps i freqüència, de manera que les operacions realitzades en el domini temporal tenen el seu dual en el domini freqüèncial.
La forma trigonomètrica de les Sèries de Fourier ens permet descriure una funció periòdica x(t) de període T (freqüència fonamental $f_0=\frac{1}{T}, \omega_0=2\pi f_0$ ).

[edita] Forma general

Sigui f(x) una funció complexa f definida en el domini dels nombres reals, on t $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{C}$ , definida a trossos, periòdica en f(t) amb període T, i de quadrat integrable a l'interval de $t 1$ a $t 2$ de durada T:

$\int_{t_1}^{t_2} |f(t)|^2 dt<+\infty$

amb

$T=t_2 - t_1, \$

Sèrie trigonomètrica de Fourier:

$f(t) = \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\,\big[ a_n \cos(\omega_n t) + b_n \sin(\omega_n t)\big]$

on els seus coeficients venen donats per les següents expressions:

$\omega_n = n\frac{2\pi}{T}$ on n és el nombre d'harmònics de la funció f,
$a_n = \frac{2}{T}\int_{t_1}^{t_2} f(t) \cos(\omega_n t)\, dt$ part parell dels coeficients de Fourier de la funció f
$b_n = \frac{2}{T}\int_{t_1}^{t_2} f(t) \sin(\omega_n t)\, dt$ part senar dels coeficients de Fourier de la funció f

[edita] Forma canònica

En el cas especial que tinguéssim un període T = 2π, tindríem que

$\omega_n = n \,$

En aquest cas, els coeficients de la Sèrie de Fourier es redueixen, arribant a una expressió particularment simple:

$f(t) = \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}[ a_n \cos(nt) + b_n \sin(nt)]$

$a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(t) \cos(nt)\, dt$
$b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(t) \sin(nt)\, dt$

[edita] Forma del període

La forma per el període T, es pot derivar fàcilment al canònic amb el canvi de la variable definida per $x=\frac{2\pi}{T}t$ . Per tant, les dues formulacions són equivalents. A pesar de tot, la forma per el període T, s'utilitza majoritàriament a la pràctica per la seva aplicació directa. A la teoria, sempre es preferible utilitzar la forma canònica ja que és més elegant i més fàcil d'interpretar matemàticament.

[edita] Propietats

Superposició

$\alpha x_p(t) + \beta y_p(t)\leftrightarrow \alpha X_s[k] + \beta Y_s[k]$

Derivada

$x'_p(t)\leftrightarrow jk2\pi f_0 X_s [k] (k\neq 0)$

Integral

$\int_{0}^{t} x_p(t)\, dt\leftrightarrow \frac{X[k]}{jk2\pi f_0}+C (k\neq 0)$

Retard

$x_p(t-\alpha)\leftrightarrow X_s[k] e^{-j2k\pi f_0\alpha}$

Escalat

$x_p(t)\leftrightarrow\ X_s[k]$ harmònics en

f = k f 0 α

$x_p(-t) \leftrightarrow\ X_s[-k] =X^*_s[k]$

Modulació

$\cos(m 2 \pi f_0 t) x_p(t)\leftrightarrow \frac{1}{2}\big\{ X_s[k-m] + X_s[k+m]\big\}$

$\frac{1}{2}\big\{ x_p(t+\alpha)+ x_p(t-\alpha)\big\}\leftrightarrow \cos(2 \pi f_0\alpha)X_s[k]$

Convolució

$x_p(t) y_p(t)\leftrightarrow X_s[k]* Y_s[k]$

$x_p(t)\bullet y_p(t) \leftrightarrow\ X_s[k] Y_s[k]$

[edita] Exemple

Escriure la Sèrie de Fourier corresponent a la funció f definida a continuació, a l'interval $- π$ < x < $π$ :

$f(x) = \begin{cases} 0 & -\pi<x\le 0 \\ x & 0\le x<\pi \end{cases}$

Els coeficients de Fourier són:

Fig.1

$a_0 =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\,dx$

$=\frac{1}{\pi}\Big(0 +\int_{0}^{\pi} x\,dx\Big)$

$a_0= \frac{\pi}{2},$

$a_n = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}x \cos(n x)\,dx$

$= \left[ \frac{\cos n x + n x \sin n x}{\pi n^2} \right]_0^{\pi}$

$a_n = \frac{(- 1)^n -1}{\pi n^2},$

$b_n = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}x \sin(n x)\,dx$

$=\left[\frac{\sin nx - nx \cos n x}{\pi n^2} \right]_0^{\pi}$

$b_n = -\frac{(- 1)^n }{n}$

on n =1, 2,... Per lo tant, a l'interval $( - π,π)$ ,

$f(x)\sim \frac{\pi}{4} + \sum_{n>0}\left[\frac{(-1)^n -1 }{\pi n^2} \cos n x- \frac{(-1)^n}{n} \sin n x\right]$

Veiem així perquè aquesta Sèrie de Fourier convergeix a f(x) quan $( - π < x < π)$ . Així mateix aquesta sèrie representa l'extensió periòdica de la funció f indicada a les línies de punts de la Fig.1. La funció periòdica es discontinua en els punts $x= \pm \pi, \pm 3 \pi \ldots$ . La nostra teoria ens mostrarà que la suma de la sèrie a cadascun d'aquests punts ha de ser $\frac{\pi}{2}$ . Una petita indicació de la convergència de la sèrie a f(x), es que es podem sumar alguns termes de la sèrie per composició d'ordenades. Es trobarà, per exemple, que la gràfica de la funció és una aproximació ondulada de la gràfica de la Fig. 1 $y= \frac{\pi}{4}- \frac{2}{\pi} \cos x + \sin x -\frac{1}{2} \sin 2x$ .

[edita] Convergència de la Sèrie de Fourier

Sigui $f : \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ contínua a trossos i periòdica de període T , i sigui

$f(t)\sim\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}[ a_n \cos (n\omega t) + b_n \sin (n\omega t)]$

on $\omega =\frac{2\pi}{T}$ és la seva Sèrie de Fourier. P.G.L. Dirichlet el 1829 va demostrar satisfactòriament que un grup específic de funcions, són iguals a la suma de les seves series de Fourier.

[edita] Condicions de Dirichlet

Sigui $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ una funció periòdica de període T. Llavor f satisfà les condiciones de Dirichlet si cada període de la funció $f:[0,T]\to\mathbb{R}$ és contínua excepte un nombre finit de discontinuïtats de salt. En particular es pot demostrar, que si una funció periòdica es tal que, ella i la seva derivada estan definides i són continues excepte en un nombre finit de discontinuïtats de salt, llavors aquesta funció verifica les condicions de Dirichlet.

[edita] Teorema de convergència de Dirichlet

Sigui $f : \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ una funció periòdica de període T que satisfà les condiciones de Dirichlet i sigui

$f(t)\sim\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}[ a_n \cos (n\omega t) + b_n \sin (n\omega t)]$

on $\omega =\frac{2\pi}{T}$ és la seva Sèrie de Fourier.

Si f és continua en un punt t, llavors la Sèrie de Fourier convergeix en aquest punt a f(t), o sigui

$\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}[ a_n \cos (n\omega t) + b_n \sin (n\omega t)]=f(t)$

Si f té una discontinuïtat de sal en un punt t, llavors la sèrie convergeix en aquest punt el punt mitj+a del salt, o sigui

$\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}[ a_n \cos (n\omega t) + b_n \sin (n\omega t)] =\frac{f(t^-)+f(t^+)}{2}$

on $f(t^-)=\lim_{\tau\to 0,\tau}f(t -\tau)$ indica el límit de f a t per l'esquerra i $f(t^+)=\lim_{\tau\to 0,\tau}f(t +\tau)$ indica el límit de f a t per la dreta.

El teorema ens indica, que si f satisfà les condicions de Dirichlet i redefinim el valor de f a cada punt de la discontinuïtat com el punt mitjà del salt, és a dir $f(t)=\frac{f(t^-)+f(t^+)}{2}$ ,llavors la suma de la Sèrie de Fourier coincideix amb f(t) a cada $t\in\mathbb{R}$ . Suposant que això es compleixi, afirmarem que la condició es compleix.

[edita] Fenomen de Gibbs

Fenomen de Gibbs

El teorema de Dirichlet, ens diu que en els punts de discontinuïtat, la gràfica de la suma de la Sèrie de Fourier, passa per un punt entremig del salt. Si es dibuixen les sumes parcials es veu que els voltants dels punts de discontinuïtat es redueix la velocitat de convergència de la sèrie i que la gràfica de la suma parcial, oscil·la pels voltant de la gràfica de la funció. Quan augmenta el nombre de termes, les oscil·lacions es condensen a ambdós costats del punt, però la seva amplitud no decreix. Això es coneix com el fenomen de Gibbs, en honor a J.W. Gibbs, que el 1899 va provar que l'amplitud l'oscil·lació a cada costat de la gràfica d'una funció tendía a ser $\frac{1}{2 \pi}\int_{0}^{\pi}\frac{\sin(t)}{t}-1\, dt \approx 0.0895$ vegades la mida del salt, és a dir, aproximadament el 9%.

[edita] Algunes propietats del desenvolupament en Sèrie de Fourier

[edita] Derivació de les series de Fourier

Si f és una funció contínua i periòdica de període T i la seva derivada f' verifica les condicions de Dirichlet, llavors, la sèrie de Fourier de f es pot derivar terme a terme de manera que si

$f(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}[ a_n \cos (n\omega t) + b_n \sin (n\omega t)]$

aleshores

$f'(t)\sim \sum_{n=1}^{\infty}[ n b_n\omega \cos (n\omega t) + na_n\omega \sin (n\omega t)]$

per cada $t\in\mathbb{R}$

[edita] Integració de les series de Fourier

Si f és una funció contínua i periòdica de període T que verifica les condicions de Dirichlet, llavors, la sèrie de Fourier de f es pot integrar terme a terme de manera que si

$f(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}[ a_n \cos (n\omega t) + b_n \sin (n\omega t)]$

i $t_0, t \in [\frac{-T}{2}, \frac{T}{2}]$ , aleshores

$\int_{t_0}^{t} f(\tau)\, d\tau = \frac{1}{2}a_0 (t- t_0)+\sum_{n=1}^{\infty}\left [ \frac{b_n (\cos (n\omega t_0)- \cos (n\omega t))}{n\omega} +\frac{a_n (\sin (n\omega t) - \sin (n\omega t_0))}{n \omega}\right ]$

S'ha d'anar en compte, ja que al terme $\frac{1}{2}a_0 t$ fa que el membre de la dreta no sigui una Sèrie de Fourier. El teorema ens proporciona el desenvolupament en sèrie de Fourier de la funció g definida a $[\frac{-T}{2}, \frac{T}{2}]$ per $\int_{t_0}^{t} f(\tau)\, d\tau - \frac{1}{2} a_0 t$ i repetida periòdicament.

[edita] Igualtat de Parseval

Si f és una periòdica de període T que verifica les condicions de Dirichlet, i sigui

$f(t) \sim\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}[ a_n\cos (n\omega t) + b_n\sin (n\omega t)]$

la seva Sèrie de Fourier. Aleshores

$\frac{1}{T}\int_{0}^{T}[f(t)]^2\, d t =\frac{1}{4} a_0^2+\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}[ a_n^2 + b_n^2]$

Quan f és un senyal periòdic de període fonamental T, aquesta igualtat es pot interpretar de la següent manera. L'integral $P=\frac{1}{T} \int_{0}^{T} [f(t)]^2\, dt$ s'anomena mitja quadràtica o potencia mitjana de f.