Resurgència

De Viquipèdia

En A.Hurwitz va plantejar, en el seu quadern, a la data del 6 de desembre 1918, la demanda si fou possible que una sèrie de potències

$h(\xi)=\sum_{k=0}^{\infty}a_k(\xi-\xi_0)^k,$

representant una funció diferent de $\xi\mapsto ce^{\xi}$ , admetés continuació analítica al llarg d'un camí tancat $γ$ al voltant de $ξ 0$ i, a la fi de la continuació, prengués la forma

$\sum_{k=1}^{\infty}k a_k(\xi-\xi_0) ^{k-1}=h^{\prime}(\xi),$ és a dir, es pot continuar analíticament una funció holomorfa cap a la seva derivada?

[edita] La solució de Lewy

En H.Lewy va respondre afirmativament, i va donar una solució del problema que presentem aquí en una forma lleugerament modificada (vegeu A.Naftalevich: On a differential-difference equation, The Michigan Mathematical Journal, 22 (1975)).

Es consideri la funció: $h(z)=\int_{\mathbb R^+} \exp \left[ -zt-(\log t)^2/4\pi i \right]\, dt;$ $h$ és holomorfa per $\Re(z)>0$ i pot ser continuada analíticament als semiplans $\Re(z e^{- i\vartheta})>0\ (\vartheta \in\mathbb R^+)$ , de la manera següent: sigui $N\in\mathbb N$ tal que $0<\vartheta/N<\pi/2$ i fem $\eta:= \vartheta/N$ .

Escrivem, per a $z\in \{\Re(z e^{- i\eta})>0\}\bigcup \{\Re(z)>0\}$ ,

$h(z)=\int_{\mathbb R^+}\exp\left[z e^{- i\eta} e^{i\eta} t- \frac{\log( e^{- i\eta} e^{i\eta} t)^2}{4\pi i } \right] \, dt$

$=\int_{e^{i\eta}\mathbb R^+} \exp \left[-ze^{- i\eta} u- \displaystyle \frac{(\log(u)-i\eta)^2}{4\pi i } \right] e^{- i\eta} \, du$

$=\lim_{R \to\infty} \left\{ \int_0^{R} \exp \left[-ze^{- i\eta} u- \displaystyle \frac{(\log(u)-i\eta)^2}{4\pi i } \right] e^{- i\eta} \, du+\right.$

$\ \qquad \left. + \int_{\gamma_R} \exp \left[-ze^{- i\eta} u- \displaystyle \frac{(\log(u)-i\eta)^2}{4\pi i } \right] e^{- i\eta} \, du\right\}.$

Aquesta darrera integral, que anominem $I 2$ , ha de ser calculada sobre la corba $\gamma_R: [0,1]\rightarrow\mathbb C$ definida en posar $γ(t): = R e i θ$ .

Hom ha $I_2\leq C_1 R^{\alpha}e^{-C_2R}$ per a unes constantes reals positives $C 1$ , $C 2$ i $α$ , doncs $I 2$ tendeix a $0$ quan $R\to\infty$ .

Així per a $z\in \{\Re(z e^{- i\eta})>0 \}\bigcap \{\Re(z)>0 \}$ hom ha $h(z)= \int_{\mathbb R^+} \exp \left[-ze^{- i\eta} u-\frac{(\log(u)-i\eta)^2}{4\pi i } \right] e^{- i\eta} \, du;$ però aquesta darrera integral convergeix en $\Re(z e^{- i\eta})>0$ i doncs hi defineix una continuació analítica de $h$ . Repetem el procediment $N$ vegades: això ens dona finalment una continuació analítica de $h$ al semiplà $\Re(z e^{- i\vartheta})>0$ ; doncs $h$ pot ser continuada analíticament a tot punt $p\in\mathbb C\setminus\{0 \}$ .

Finalment, si fem la continuació analítica al llarg del camí $\vert z\vert=1, 0\leq\arg(z)\leq 2\pi$ , obtenim, designant $\hat h$ l'element de funció holomorfa obtingut (en un entorn de $z = 1$ ) després una volta completa, $\hat h(z) = \int_{\mathbb R^+} \exp \left[-e^{2\pi i}z t-(\log t+2\pi i)^2/4\pi i \right]\, dt=$