Matriu Hessiana

De Viquipèdia

En matemàtiques, la matriu Hessiana d'una funció f de n variables, és una matriu quadrada n x n amb les segones derivades parcials.

Donada una funció real f de n variables reals

f (x) = f (x 1, x 2,..., x n)

Si totes les derivades segones parcials de f existeixen, es defineix la matriu Hessiana de f, $H_f \mathbf(x)$ de manera que l'element i,j de la matriu es calcula:

$H_f (x)_{i,j}=\frac{\partial^2 f(x)}{\partial x_i \partial x_j}$

Per tant la matriu Hessiana s'escriu de la forma:

$H_f = \begin{bmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1\,\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1\,\partial x_n} \\ \\ \frac{\partial^2 f}{\partial x_2\,\partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2\,\partial x_n} \\ \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \\ \frac{\partial^2 f}{\partial x_n\,\partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n\,\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n^2} \end{bmatrix}$

El terme matriu Hessiana (o discriminant Hessià) va ser introduït pel matemàtic anglès James Joseph Sylvester que les va anomenar en honor del matemàtic alemany Ludwig Otto Hesse. Les matrius Hessianes es fan servir normalment per resoldre problemes d’optimització amb funcions de diverses variables.

Taula de continguts

1 Simetria de la matriu Hessiana
2 Aplicació de la matriu Hessiana
- 2.1 Concavitat/Convexitat
- 2.2 Mètode per trobar punts crítics
3 Vegeu també

[edita] Simetria de la matriu Hessiana

Seguint el teorema de Young, en el cas que la funció f definida com

$f \colon A \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$

tingui derivades parcials contínues per qualsevol punt del domini obert A, per exemple, prenguem el punt $(a 1, a 2,..., a n)$ , llavors, segons el teorema de Clairaut, per qualsevol $1 < i, j < n$ tenim que:

$\frac{\partial^2 f}{\partial x_i\, \partial x_j}(a_1, \dots, a_n) = \frac{\partial^2 f}{\partial x_j\, \partial x_i}(a_1, \dots, a_n).$

i per tant, l'ordre de derivació per obtenir derivades segones parcials no importa. En conclusió, donades aquestes circumstàncies, la matriu Hessiana de f és una matriu simètrica.

[edita] Aplicació de la matriu Hessiana

[edita] Concavitat/Convexitat

Sigui $A \subseteq \mathbb{R}^n$ un conjunt obert i $f \colon A \to \mathbb{R}$ una funció amb derivades segones contínues:

f és còncava si, i només si, $\forall a \in A$ , la matriu Hessiana H_f(a) és semidefinida negativa.
Si $\forall a \in A$ la matriu Hessiana H_f(a) és definida negativa, llavors f és estrictament còncava.

Si f és una funció còncava, llavors qualsevol punt en què totes les derivades parcials són zero, és un màxim global.

f és convexa si, i només si, $\forall a \in A$ , la matriu Hessiana H_f(a) és semidefinida positiva.
Si $\forall a \in A$ la matriu Hessiana H_f(a) és definida positiva, llavors f és estrictament convexa.

Si f és una funció convexa, llavors qualsevol punt en què totes les derivades parcials són zero, és un mínim global.

[edita] Mètode per trobar punts crítics

Es veurà a continuació com trobar els punts crítics (màxims, mínims i punts de sella) d'una funció f de múltiples variables.

S'igualen les derivades parcials primeres a zero.
Es resolen les equacions anteriors i se'n obtenen les coordenades dels punts crítics.
Es construeix la matriu Hessiana (derivades segones parcials).
Segons els valors dels menors preferents dominants de la matriu Hessiana avaluades als diferents punts crítics. aquests punts poden ser:

Màxim: si la matriu Hessiana en el punt és definida negativa (tots els menors preferents dominants són diferents de 0 i, a més, alternen en signe, essent el primer negatiu).
Mínim: si la matriu Hessiana en el punt és definida positiva (tots els menors preferents dominants són més grans que 0).
Punt de Sella: si la matriu Hessiana en el punt és indefinida (no definida o semidefinida positiva ni definida o semidefinida negativa).