Màxim comú divisor
De Viquipèdia
El màxim comú divisor màxim (m.c.d.; mcd) de dos o més nombres enters és, a menys del signe, el major divisor possible de tots ells. Si el màxim comú divisor de dos nombres és 1, aleshores aquests nombres es diuen coprimers o primers entre ells.
Taula de continguts |
[edita] Generalitats
- Tot i que podem anar provant nombres naturals un per un fins trobar el m.c.d., existeix un mètode general per trobar-lo. Consisteix en descompondre tots els nombres en factors primers i prendre els factors comuns amb el seu menor exponent. Multiplicant aquests factors comuns trobem el màxim comú divisor.
Per exemple, de les factoritzacions de 6936 i 1200,
- 6936 = 23 · 3 · 172
- 1200 = 24 · 3 · 52
podem inferir que el seu m.c.d. és 23 · 3 = 24
- Si algun dels nombres és molt gran, aquest mètode no és operatiu perquè pot ser difícil coneixer-ne els possibles factors. En eixe cas podem fer servir l'algorisme d'Euclides.
- Geomètricament, el màxim comú divisor de a i b és el nombre de punts de coordenades enteres que hi ha en el segment que unix els punts (0, 0) i (a, b), excloent el (0, 0).
[edita] Propietats
Les propietats del m.c.d. són, en certa forma, duals de les del mínim comú múltiple:
- Qualsevol divisor comú a a i b és un divisor de mcd(a,b).
- m.c.d.(a, b) = m.c.d.(|a|, |b|).
- m.c.d.(a, b) = m.c.d.(b, a).
- m.c.d.(a, 0) = m.c.d.(a, a) = a.
- m.c.d.(a, m.c.d.(b, c)) = m.c.d.(m.c.d.(a, b), c), cosa que permet calcular el m.c.d. de tres o més nombres.
- Si r és el residu de la divisió entera de a entre b, aleshores m.c.d.(a, b) = m.c.d.(b, r). Aquest fet és la base de l'algorisme d'Euclides.
- Si a i b no són tots dos zero, el m.c.d.(a, b) és el nombre més petit que es pot escriure en la forma d = ax + by, amb x i y nombres enters convenients. Aquesta expressió s'anomena Identitat de Bézout i els nombres x i y es poden calcular a partir dels resultats parcials de l'algorisme d'Euclides.
- El màxim comú divisor de dos nombres i el mínim comú múltiple estan lligats per la relació: m.c.d.(a, b)·m.c.m.(a, b) = |ab|.
[edita] Usos
El m.c.d. s'empra per a simplificar fraccions , per exemple
Ací, m.c.d.(30, 42) = 6, així que es divideix el numerador i el denominador de la fracció inicial per 6 per a obtenir la fracció simplificada.
[edita] El m.c.d. als anells principals
Si A és un anell principal i I i J en són ideals, l'ideal I + J és l'ideal màxim comú divisor dels ideals I i J. En el cas de l'anell dels nombres enters, aquesta definició recull la Identitat de Bézout.
