Identitat de Bézout
De Viquipèdia
La identitat de Bézout, anomenada a partir del matemàtic francès Étienne Bézout, és una equació diofàntica lineal. Afirma que si a i b són enters (com a mínim un diferent de zero) amb màxim comú divisor d, llavors existeixen enters x i y tals que
- ax + by = d.
Els x i y es poden determinar amb l'algorisme d'Euclides ampliat però no estan determinats unívocament. Aquestes parelles de nombres x i y s'anomenen nombres de Bézout.
Per exemple, el màxim comú divisor de 12 i 42 és 6, i podem escriure
- (−3)·12 + 1·42 = 6
i també
- 4·12 + (−1)·42 = 6.
El màxim comú divisor d de a i b és, de fet, l'enter positiu més petit que es pot escriure de la forma ax + by.
L'identitat de Bézout és vàlida no només a l'anell dels enters, sinó també en qualsevol altre domini d'ideals principals (DIP). És a dir, que si R és un DIP, a i b són elements de R i d és el màxim comú divisor de a i b, llavors existeixen elements x i y de R tals que ax + by = d. Justificació: l'ideal Ra + Rb és principal i igual a Rd.
[edita] Enllaços externs
- Calculador en línia de la identitat de Bézout (en anglès).
- La identitat de Bézout a MathWorld (en anglès).
