Web Analytics Made Easy - Statcounter

[HOME PAGE] [STORES] [CLASSICISTRANIERI.COM] [FOTO] [YOUTUBE CHANNEL]

Equaci?? diferencial de Bernoulli - Viquip??dia

Equaci?? diferencial de Bernoulli

De Viquip??dia

Vegeu ??equaci?? de Bernoulli?? per a informaci?? sobre l'equaci?? en el camp de la din??mica de fluids.

En matem??tiques, s'anomena equaci?? diferencial de Bernoulli (o sovint equaci?? de Bernoulli) a una equaci?? diferencial ordin??ria de la forma

y'+ P(x)y = Q(x)y^n\,

Per resoldre aquesta equaci??, s'han de seguir els seg??ents passos: Dividir entre yn:

\frac{y'}{y^{n}} + \frac{P(x)}{y^{n-1}} = Q(x). (1)

Fer un canvi de variables amb

w=\frac{1}{y^{n-1}}

i

w'=\frac{(1-n)}{y^{n}}y'.

Despr??s de substituir, s'aconsegueix l'equaci?? diferencial de primer ordre

\frac{w'}{1-n} + P(x)w = Q(x) (2)

que es pot resoldre fent servir el factor d'integraci??

M(x)= e^{(1-n)\int P(x)dx}

[edita] Exemple

Donada l'equaci?? de Bernoulli seg??ent

y' - \frac{2y}{x} = -x^2y^2

Despr??s de dividir per y2, aconseguim

y'y^{-2} - \frac{2}{x}y^{-1} = -x^2

de manera que el canvi de variables ??s

w = \frac{1}{y} i w' = \frac{-y'}{y^2}

Aix?? porta a

w' + \frac{2}{x}w = x^2

que es pot resoldre fent servir el factor d'integraci??

M(x)= e^{2\int \frac{1}{x}dx} = x^2

Despr??s de multiplicar les dues bandes per M(x) es t?? que

w'x^2 + 2xw = x^4,\,

i es pot observar que la banda esquerra ??s la derivada de wx2 (recordant que w ??s una funci?? de x). Integrant a les dues bandes, es troba

\int (wx^2)' dx = \int x^4 dx

que d??na

wx^2 = \frac{1}{5}x^5 + C,
\frac{1}{y}x^2 = \frac{1}{5}x^5 + C

i finalment

y = \frac{x^2}{\frac{1}{5}x^5 + C}