Factor d'integraci??

De Viquip??dia

En matem??tiques, hom resol certes equacions diferencials ordin??ries mitjan??ant un factor d'integraci??. El factor d'integraci?? ??s sols una funci?? agafada de manera tal que permet resoldre l'equaci?? desitjada.

Considerant una equaci?? diferencial ordin??ria de la forma

$y'+a(x)y = b(x)\quad\quad\quad (1)\,$

on $y = y (x)$ ??s una funci?? desconeguda de $x$ , i $a (x)$ i $b (x)$ s??n funcions donades.

El factor d'integraci?? funciona de manera que transforma la banda esquerra de l'equaci?? en la forma de la derivada d'un producte.

Consident una funci?? $M (x)$ . Es multipliquen ambdues bandes de (1) per $M (x):$

$M(x)y' + M(x)a(x)y = M(x)b(x)\quad\quad\quad (2)$

Es vol que la banda esquerra quedi de la forma d'una derivada del producte. De fet, si s'assumeix aix??, la banda esquerra es pot reordenar com a

$(M(x)y)' = M(x)b(x)\quad\quad\quad (3)\,$

I aix?? es pot integrar,

$y(x) M (x) = \int\limits_{}^{}\! b(x) M(x)\,dx + C\,$

on $C$ ??s una constant (veure constant arbitr??ria d'integraci??). I ara es pot resoldre per $y (x),$

$y(x) = \frac{\int\limits_{}^{}\! b(x) M(x)\, dx + C}{M(x)}\,$

Tanmateix, per resoldre expl??citament per $y (x)$ es necessita trobar l'expressi?? de $M (x).$ Es pot deduir de (2) que $M (x)$ obeeix l'equaci?? diferencial

$M'(x)-a(x)M(x) = 0\quad\quad\quad (4)\,$

Per aconseguir $M (x)$ , es divideixen les dues bandes per $M (x):$

$\frac{M'(x)}{M(x)}-a(x) = 0\quad\quad\quad (5)\,$

L'equaci?? (5) ara ??s de la forma d'una derivada logar??tmica. Resolent (5) s'obt??

$M(x)=e^{\int\limits_{}^{}\!a(x)\,dx}\,$

Es pot veure que multiplicar per $M (x)$ i la propietat $M'(x) = a (x) M (x)$ s??n essencials per resoldre aquesta equaci?? diferencial. $M (x)$ s'anomena factor d'integraci??. El nom prov?? del fet que ??s una integral, i es comporta com un m??ltiple de l'equaci?? (d'aqu?? el factor).