Equaci?? de Riccati

De Viquip??dia

En matem??tiques, una equaci?? de Ricatti ??s qualsevol equaci?? diferencial de la forma:

$y' = q_0(x) + q_1(x) \, y + q_2(x) \, y^2$

on q₀, q₁ i q₂ s??n funcions reals, sovint escollides de forma que siguin cont??nues en un mateix int??rval. L'equaci?? rep el nom el matem??tic itali?? Jacopo Francesco Riccati (1676-1754), qui el 1720 la present??, en una forma lleugerament diferent, al seu amic Giovanni Rizzetti.

L'equaci?? de Riccati no es pot tractar per les t??cniques elementals de soluci?? d'equacions diferencials. El procediment de soluci?? ??s el seg??ent. Si es pot trobar una soluci?? particular y₁, la soluci?? general ser??

$y = y_1 + u \,$

I ara, substituint

$y_1 + u \,$

a l'equaci?? de Riccati s'obt??:

$y_1' + u' = q_0 + q_1 \cdot (y_1 + u) + q_2 \cdot (y_1 + u)^2$

i com

$y_1' = q_0 + q_1 \, y_1 + q_2 \, y_1^2$

$u' = q_1 \, u + 2 \, q_2 \, y_1 \, u + q_2 \, u^2$

$u' - (q_1 + 2 \, q_2 \, y_1) \, u = q_2 \, u^2,$

que ??s una equaci?? diferencial de Bernoulli. Malauradament, y₁ s'ha de trobar fent alguna suposici??. La substituci?? necess??ria per solucionar aquesta equaci?? de Bernoulli ??s

$z = u^{1-2} = \frac{1}{u}$