Equaci?? de Poisson

De Viquip??dia

En matem??tiques l'equaci?? de Poisson ??s una equaci?? diferencial en derivades parcials que s'utilitza abastament en electrost??tica, enginyeria mec??nica i f??sica te??rica. Rep el seu nom en honor al matem??tic, ge??metra i f??sic franc??s Sim??on-Denis Poisson.

L'equaci?? de Poisson ??s:

$\Delta\varphi=f$

on $??$ ??s l'operador laplaci??, i f i ?? s??n funcions amb valors reals o complexos sobre una varietat. Quan la varietat ??s un espai euclidi??, l'operador laplaci?? s'acostuma a escriure com ${\nabla}^2$ i l'equaci?? de Poisson s'escriu com

${\nabla}^2 \varphi = f$

En un sistema de coordenades cartesianes tridimensional pren la forma

$\left( \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} \right)\varphi(x,y,z) = f(x,y,z).$

Per la desaparici?? de f, aquesta l'equaci?? esdev?? l'equaci?? de Laplace

$\Delta \varphi = 0. \!$

L'equaci?? de Poisson pot ser resolta utilitzant diferents m??todes com ara la funci?? de Green o m??todes num??rics com el m??tode de les difer??ncies finites o el m??tode dels elements finits. D'altra banda en gravitaci?? relativista s'utilitzen m??todes de resoluci?? basats en la transformada de Fourier.

[edita] Electrost??tica

Una de les pedres angulars de l'electrost??tica ??s el plantejament i soluci?? de problemes que s??n descrits per mitj?? de l'equaci?? de Poisson. Buscar ?? per un valor f donat ??s un problema pratic important en tant que ??s la via habitual de trobar el potencial el??ctric per a una distribuci?? de c??rrega donada. En unitats del SI:

${\nabla}^2 \Phi = - {\rho \over \epsilon_0}$

on $\Phi \!$ ??s el potencial el??ctric (en volts), $\rho \!$ ??s la densitat de c??rrega (en coulombs per metre c??bic), i $\epsilon_0 \!$ ??s la permitivitat del buit (en farads per metre).

A una regi?? de l'espai on no hi ha densitat de c??rregues desaparellades, tenim

$\rho = 0, \,$

i l'equaci?? per al potencial esdev?? l'equaci?? de Laplace:

${\nabla}^2 \Phi = 0.$

[edita] Potencial d'una densitat de c??rrega Gaussiana

Si hi ha una distribuci?? gaussiana de densitat de c??rrega sim??trica en forma d'esfera $??(r)$ :

$\rho(r) = \frac{Q}{\sigma^3\sqrt{2\pi}^3}\,e^{-r^2/(2\sigma^2)},$

on Q ??s la c??rrega total, llavors la soluci?? ?? (r) de l'equaci?? de Poisson

${\nabla}^2 \Phi = - { \rho \over \epsilon_0 }$

vindr?? donada per

$\Phi(r) = { 1 \over 4 \pi \epsilon_0 } \frac{Q}{r}\,\mbox{erf}\left(\frac{r}{\sqrt{2}\sigma}\right)$

on erf(x) ??s la funci?? d'error.

Aquesta soluci?? pot ser comprovada per mitj?? d'una avaluaci?? manual de ${\nabla}^2 \Phi$ .

Noteu que per a un valor de r molt m??s gran que ??, erf(x)s'aproxima a la unitat i el potencial ?? (r) s'aproxima al potencial el??ctric de la c??rrega puntual]] ${ 1 \over 4 \pi \epsilon_0 } {Q \over r}$ , tal com era d'esperar.

[edita] Refer??ncies

Poisson Equation a EqWorld: El m??n de les equacions.
L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence, 1998. ISBN 0-8218-0772-2
A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9