Equació de Poisson

De Viquipèdia

En matemàtiques l'equació de Poisson és una equació diferencial en derivades parcials que s'utilitza abastament en electrostàtica, enginyeria mecànica i física teòrica. Rep el seu nom en honor al matemàtic, geòmetra i físic francès Siméon-Denis Poisson.

L'equació de Poisson és:

$\Delta\varphi=f$

on $Δ$ és l'operador laplacià, i f i φ són funcions amb valors reals o complexos sobre una varietat. Quan la varietat és un espai euclidià, l'operador laplacià s'acostuma a escriure com ${\nabla}^2$ i l'equació de Poisson s'escriu com

${\nabla}^2 \varphi = f$

En un sistema de coordenades cartesianes tridimensional pren la forma

$\left( \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} \right)\varphi(x,y,z) = f(x,y,z).$

Per la desaparició de f, aquesta l'equació esdevé l'equació de Laplace

$\Delta \varphi = 0. \!$

L'equació de Poisson pot ser resolta utilitzant diferents mètodes com ara la funció de Green o mètodes numèrics com el mètode de les diferències finites o el mètode dels elements finits. D'altra banda en gravitació relativista s'utilitzen mètodes de resolució basats en la transformada de Fourier.

[edita] Electrostàtica

Una de les pedres angulars de l'electrostàtica és el plantejament i solució de problemes que són descrits per mitjà de l'equació de Poisson. Buscar φ per un valor f donat és un problema pratic important en tant que és la via habitual de trobar el potencial elèctric per a una distribució de càrrega donada. En unitats del SI:

${\nabla}^2 \Phi = - {\rho \over \epsilon_0}$

on $\Phi \!$ és el potencial elèctric (en volts), $\rho \!$ és la densitat de càrrega (en coulombs per metre cúbic), i $\epsilon_0 \!$ és la permitivitat del buit (en farads per metre).

A una regió de l'espai on no hi ha densitat de càrregues desaparellades, tenim

$\rho = 0, \,$

i l'equació per al potencial esdevé l'equació de Laplace:

${\nabla}^2 \Phi = 0.$

[edita] Potencial d'una densitat de càrrega Gaussiana

Si hi ha una distribució gaussiana de densitat de càrrega simètrica en forma d'esfera $ρ(r)$ :

$\rho(r) = \frac{Q}{\sigma^3\sqrt{2\pi}^3}\,e^{-r^2/(2\sigma^2)},$

on Q és la càrrega total, llavors la solució Φ (r) de l'equació de Poisson

${\nabla}^2 \Phi = - { \rho \over \epsilon_0 }$

vindrà donada per

$\Phi(r) = { 1 \over 4 \pi \epsilon_0 } \frac{Q}{r}\,\mbox{erf}\left(\frac{r}{\sqrt{2}\sigma}\right)$

on erf(x) és la funció d'error.

Aquesta solució pot ser comprovada per mitjà d'una avaluació manual de ${\nabla}^2 \Phi$ .

Noteu que per a un valor de r molt més gran que σ, erf(x)s'aproxima a la unitat i el potencial Φ (r) s'aproxima al potencial elèctric de la càrrega puntual]] ${ 1 \over 4 \pi \epsilon_0 } {Q \over r}$ , tal com era d'esperar.

[edita] Referències

Poisson Equation a EqWorld: El món de les equacions.
L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence, 1998. ISBN 0-8218-0772-2
A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9