Axioma d'elecci??

De Viquip??dia

L'axioma d'elecci?? (AE) ??s un axioma de la teoria de conjunts. El va formular Ernst Zermelo a 1904, i aleshores va provocar una certa controv??rsia.

Estableix el seg??ent:

• Sigui X una col??lecci?? de conjunts no buits. Llavors podem escollir un membre de cada conjunt de la col??lecci??.

M??s formalment seria:

• Existeix una funci?? f definida en X tal que per a cada conjunt S en X, f(S) ??s un element de S.

Una altra formulaci?? de l'axioma d'elecci?? estableix que:

• Donat un conjunt de conjunts disjunts (sense interseccions) no buits, existeix almenys un conjunt que t?? exactament un element en com?? amb cadascun dels conjunts no buits.

En una s??rie de capses amb almenys un objecte a cadascuna, l'axioma estableix senzillament que es pot escollir un objecte de cada capsa. On hi ha la dificultat?

B??, vegem-ne alguns exemples:

1. Sigui X una col??lecci?? finita de conjunts no buits.

Aqu?? tot ??s senzill, i l'axioma d'elecci?? no ??s necessari, nom??s cal seguir les regles de la l??gica formal.

1. Sigui X la col??lecci?? de tots els conjunts no buits dels nombres naturals {0, 1, 2, 3...}.

Llavors f pot ser la funci?? que escull el menor element de cada conjunt. Novament, l'axioma d'elecci?? no ??s necessari, ja que tenim una regla per escollir.

1. Sigui X la col??lecci?? de tots els sub-intervals de (0, 1) amb longitud superior a 0.

Llavors f pot ser la funci?? que escull el punt mitj?? de cada interval. Una altra vegada, l'axioma d'elecci?? no ??s necessari.

1. Sigui X la col??lecci?? de tots els conjunts no buits dels nombres reals.

Llavors tenim un problema. No existeix cap definici?? ??bvia de f, ja que la resta d'axiomes de la teoria de conjunts ZF no ordenen adequadament els nombres reals.

Aqu?? hi ha la clau de l'axioma. Nom??s estableix que existeix alguna funci?? f que pot escollir un element de cada conjunt de la col??lecci??. No d??na cap indicaci?? de com s'hauria de definir la funci??, senzillament en mant?? l'exist??ncia. Els teoremes la prova dels quals inclou l'axioma d'elecci?? s??n sempre no constructius: postulen l'exist??ncia de quelcom sense indicar com obtenir-ho.

S'ha demostrat que l'axioma d'elecci?? ??s independent de la resta d'axiomes de la teoria de conjunts; ??s a dir, no es pot demostrar ni refutar. Aix?? ??s el resultat del treball de Kurt G??del i Paul Cohen. Aix??, no hi ha contradiccions, tant si s'accepta com si no s'accepta; tanmateix, la majoria dels matem??tics l'accepten, o b?? n'accepten una versi?? feble, ja que aix?? se'ls simplifica la feina.

Una de les raons per la qual a alguns matem??tics no els agrada particularment l'axioma d'elecci?? ??s que implica l'exist??ncia d'alguns objectes estranys no intu??tius. Un exemple d'aix?? ??s la paradoxa de Banach-Tarski que conclou que ??s possible de "dividir" l'esfera tridimensional en un nombre de peces finit i, usant nom??s rotaci?? i translaci??, ajuntar les peces formant dues boles cadascuna amb el mateix volum que l'original. Cal notar que, com totes les proves que inclouen l'axioma d'elecci??, no diu com cal fer-ho, nom??s diu que es pot fer.

Un dels aspectes m??s interessants de l'axioma d'elecci?? ??s els llocs curiosos de les matem??tiques on surt. Aix??, hi ha un nombre remarcable d'afirmacions que s??n equivalents a l'axioma d'elecci??. Els m??s importants s??n el lema de Zorn i el principi de bon ordenament: cada conjunt pot ser ben ordenat. (De fet, Zermelo va introduir inicialment l'axioma d'elecci?? per formalitzar la seva prova del principi de bon ordenament).

Jerry Bona va dir una vegada: "L'axioma d'elecci?? ??s ??bviament cert, el principi de bon ordenament ??bviament fals, i v??s a saber si ho ??s el lema de Zorn?".