Cube

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Cube
Représentation d'un cube.
Type	Solide platonicien
Faces	6 carrés
Arêtes	12
Sommets	8
Faces/sommet	3
Caractéristique	2
Symbole de Schläfli	{4,3}
Symbole de Wythoff	3
Diagramme de Coxeter-Dynkin
Dual	Octaèdre régulier
Groupe de symétrie	Oh (en)
Volume	a³
Aire	6a²
Angle dièdre	90°
Propriétés	zonoèdre convexe
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En géométrie euclidienne, un cube est un prisme dont toutes les faces sont carrées donc égales et superposables. Le cube figure parmi les solides les plus remarquables de l'espace. C'est le seul des cinq solides de Platon, ayant exactement 6 faces, 12 arêtes et 8 sommets. Son autre nom est « hexaèdre régulier ».

L'étymologie du terme cube est grecque ; cube provient de kubos, le dé.

Le terme de cube, appliqué à un nombre, désigne la valeur obtenue en multipliant ce nombre par lui-même et en remultipliant le résultat par le nombre initial. Cette expression s'est imposée durant la période où l'algèbre géométrique était omniprésente, le carré d'un nombre était vu comme la surface d'un carré de côté le nombre initial et le cube d'un nombre comme le volume d'un cube de côté le nombre initial. L'expression « a³ » peut se lire « a au cube » et « a cube ».

Le squelette du cube, l'ensemble de ses sommets reliés par ses arêtes, forme un graphe appelé graphe hexaédrique.

Géométrie

Cube

Le cube est un des cinq solides de Platon. Un cube appartient à la famille des prismes droits. Il possède 8 sommets et 12 arêtes. De plus :

• Deux arêtes ayant une extrémité commune sont orthogonales.
• Les faces opposées sont parallèles. Les faces adjacentes sont perpendiculaires
• Tous les angles dièdres sont droits.
• Les diagonales s'intersectent en un unique point, le centre de symétrie du cube, l'isobarycentre des huit sommets.

Mais par définition ses arêtes sont toutes de longueur égale, disons a. Ses faces sont donc des carrés, de même superficie, égale à a². De fait :

• son aire vaut donc 6a² ;
• son volume vaut a³ ;
• la longueur d'une diagonale vaut a√3 ;
• la sphère circonscrite (en) a donc pour rayon a√3/2 ;
• la sphère tangente aux arêtes a pour rayon a/√2 ;
• la sphère inscrite a pour rayon a/2 ;
• l'angle entre la diagonale et chacun des plans adjacents vaut

C'est l'expression de son volume qui a conduit à l'utilisation du mot cube en algèbre.

Autres définitions

Il existe d'autres définitions équivalentes du cube :

• les cubes sont les seuls polyèdres dont toutes les faces sont carrées ;
• le cube est un antidiamant d'ordre 3 à sommets réguliers et angles dièdres égaux.

Groupe des isométries

Le cube est l'un des polyèdres offrant le plus de symétries :

• 3 axes de rotation d'ordre 4 : axes passant par le centre de deux faces opposées ;
• 6 axes de rotations d'ordre 2 : axes passant par le milieu de deux arêtes opposées ;
• 4 axes de rotation d'ordre 3 : axes passant par deux sommets opposés ;
• la symétrie de centre O ;
• 9 plans de symétrie : 3 plans médiateurs des arêtes, 6 plans passant par deux arêtes opposées.

Une isométrie du cube est entièrement définie par l'image d'un sommet et des trois arêtes issues de ce sommet (repère de l'espace). Ce sommet peut avoir pour image l'un quelconque des 8 sommets du cube. La première arête a alors 3 images possibles, la seconde arête deux images seulement et l'image de la dernière arête est alors déterminée. Ceci prouve que les isométries laissant le cube globalement invariant sont au nombre de 8 × 3 × 2 = 48. Ces isométries se partagent en 24 isométries positives et 24 isométries négatives. Les isométries positives possèdent toutes le point O comme invariant : on dénombre alors (en comptant l'identité) 24 rotations du cube.

On retrouve alors les axes de rotations précédents :

• 3 axes de rotation générant 3 rotations d'angle non nul, soit 9 rotations ;
• 6 axes de rotation générant 1 rotation d'angle plat, soit 6 rotations ;
• 4 axes de rotation générant 2 rotations d'angle non nul, soit 8 rotations.

ainsi que les 9 symétries par rapport à un plan générées par les 9 rotations d'angle plat composées avec la symétrie de centre O.

Ce qui prouve que l'inventaire était bien exhaustif.

Ce groupe est le plus vaste de ceux des polyèdres réguliers qui peuvent paver l'espace. L'analyse associée se trouve dans l'article réseau (géométrie).

Patrons

Il existe onze patrons du cube ; en voici quatre :

• 

  Développement en croix, les carrés latéraux peuvent être placés plus bas ou plus haut

• 

  Développement en zigzag

• 

  Ce développement tient dans un rectangle de deux sur cinq et minimise l'espace perdu

• 

  Le carré de gauche peut être placé plus bas ou plus haut

Le cube et les autres polyèdres

Le dual du cube est l'octaèdre régulier. Ce qui explique que les deux solides possèdent le même groupe d'isométries.

Le cube s'inscrit dans un dodécaèdre régulier : les sommets du cube sont des sommets du dodécaèdre et les arêtes du cube sont formées de segments joignant deux sommets non consécutifs dans une face pentagonale du dodécaèdre. Il y a ainsi cinq façons d'inscrire un cube dans un dodécaèdre régulier.

On peut aussi inscrire le cube dans un dodécaèdre rhombique. Les sommets du cube correspondent aux sommets d'ordre 3 du dodécaèdre rhombique et les arêtes du cube correspondent aux diagonales des losanges.

Fascination du cube

Le cube a joué un rôle important dans la géométrie et la cosmologie grecque. Platon le classe comme le quatrième solide, le premier construit à l'aide de triangles isocèles rectangles :

« Groupés par quatre avec leurs angles droits se rencontrant au centre, ces triangles isocèles forment un quadrangle. Six de ces quadrangles en s'accollant ont donné naissance à huit angles solides, composés chacun de trois angles plans droits et la figure obtenue est un cube (Timée, 54c - 55 d) »

Comme chaque solide de Platon, le cube est associé à un élément. Comme élément le plus stable, il est associé à la Terre.

Dans une autre clé symbolique, il symbolise le monde matériel et l'ensemble des quatre éléments. Symbole de stabilité, il se trouve souvent à la base des trônes^[1].

Le cube a été l'objet d'un problème qui s'est révélé insoluble : la duplication du cube à la règle et au compas.

Dans la cosmologie de Kepler, le cube est associé à la planète Saturne.

On retrouve aussi le cube dans la symbolique franc-maçonne. Le cube y symbolise les progrès que doit faire le compagnon pour passer de la pierre brute au solide parfait.

Le cube a fait l'objet d'une séquence de trois films canadiens. Apple a produit l'ordinateur Cube, Nintendo la console GameCube. Le Rubik's cube est un casse-tête dont la réflexion se base sur des associations de couleur. Comprendre sa solution fait appel au groupe des permutations.

On retrouve un cube tronqué dans le tableau Melencolia d'Albrecht Dürer. L'atomium de Bruxelles est un cube. En effet, le cube est un des réseaux possibles en cristallographie pour l'argent, l'or, le cuivre, le platine, le diamant, le sel, entre autres.

Notes et références

Voir aussi

Articles connexes

Lien externe

Le chemin le plus court sur le cube

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