Algorithmique

Organigramme de programmation représentant l'algorithme d'Euclide.

L'algorithmique est l'étude et la production de règles et techniques qui sont impliquées dans la définition et la conception d'algorithmes, c'est-à-dire de processus systématiques de résolution d'un problème permettant de décrire précisément des étapes pour résoudre un problème algorithmique. En d'autres termes, un algorithme est une suite finie et non-ambiguë d’instructions permettant de donner la réponse à un problème.

Étymologie

Le mot « algorithme » vient du nom du mathématicien Al-Khwarizmi^[1] (latinisé au Moyen Âge en Algoritmi), qui, au IX^e siècle écrivit le premier ouvrage systématique donnant des solutions aux équations linéaires et quadratiques. « Algorithme » a donné « algorithmique » auxquels certains préfèrent le néologisme « algorithmie ».

Histoire

Antiquité

Les premiers algorithmes dont on a retrouvé des descriptions datent des Babyloniens, au III^e millénaire av. J.-C.. Ils décrivent des méthodes de calcul et des résolutions d'équations à l'aide d'exemples.

Un algorithme célèbre est celui qui se trouve dans le livre 7 des Éléments d'Euclide, et appelé algorithme d'Euclide. Il permet de trouver le plus grand diviseur commun, ou PGCD, de deux nombres. Un point particulièrement remarquable est qu’il contient explicitement une itération et que les propositions 1 et 2 démontrent sa correction.

C'est Archimède qui proposa le premier un algorithme pour le calcul de π^[2].

Étude systématique

Le premier à avoir systématisé des algorithmes est le mathématicien arabophone Al Khuwarizmi, actif entre 813 et 833. Dans son ouvrage Abrégé du calcul par la restauration et la comparaison, il étudie toutes les équations du second degré et en donne la résolution par des algorithmes généraux. Il utilise des méthodes semblables à celles des Babyloniens, mais se différencie par ses explications systématiques là où les Babyloniens donnaient seulement des exemples.

Le savant arabe Averroès (1126-1198) évoque une méthode de raisonnement où la thèse s’affine étape par étape, itérativement, jusqu’à une certaine convergence et ceci conformément au déroulement d’un algorithme. À la même époque, au XII^e siècle, le moine Adelard de Bath introduit le terme latin de algorismus, par référence au nom de Al Khuwarizmi. Ce mot donne algorithme en français en 1554.

Au XVII^e siècle, on pourrait entrevoir une certaine allusion à la méthode algorithmique chez René Descartes dans la méthode générale proposée par le Discours de la méthode (1637), notamment quand, en sa deuxième partie, le mathématicien français propose de « diviser chacune des difficultés que j’examinerois, en autant de parcelles qu’il se pourroit, et qu’il seroit requis pour les mieux résoudre. » Sans évoquer explicitement les concepts de boucle, d’itération ou de dichotomie, l’approche de Descartes prédispose la logique à accueillir le concept de programme, mot qui naît en français en 1677.

L’utilisation du terme algorithme est remarquable chez Ada Lovelace, fille de Lord Byron et assistante de Charles Babbage (1791-1871).

L'époque contemporaine

L’algorithmique du XX^e et du XXI^e siècle se base souvent sur des formalismes comme celui des machines de Turing, qui permettent de définir précisément ce qu'on entend par "étapes", par "précis" et par "non ambigu" et elle donne un cadre scientifique pour étudier les propriétés des algorithmes. Cependant, le type de formalisme choisi engendre des algorithmes différents pour résoudre un même problème, par exemple l'algorithmique récursive, l'algorithmique parallèle ou l’informatique quantique donnent lieu à des algorithmes différents de ceux de l'algorithmique itérative issue de la machine de Turing.

Avec l'informatique, l'algorithmique s'est beaucoup développée dans la deuxième moitié du XX^e siècle et Donald Knuth, auteur du traité The Art of Computer Programming, qui décrit de très nombreux algorithmes, en a posé des fondements mathématiques rigoureux de leur analyse.

Vocabulaire

Le substantif algorithmique désigne la méthode utilisant des algorithmes. Le terme est également employé comme adjectif.

Un algorithme énonce une résolution sous la forme d’une série d’opérations à effectuer. La mise en œuvre de l’algorithme consiste en l’écriture de ces opérations dans un langage de programmation et constitue alors la brique de base d’un programme informatique.

Les informaticiens utilisent fréquemment l’anglicisme implémentation pour désigner cette mise en œuvre. L’écriture en langage informatique est aussi fréquemment désignée par le terme « codage », qui n’a ici aucun rapport avec la cryptographie, mais qui se réfère au terme « code source » pour désigner le texte, en langage de programmation, constituant le programme. L’algorithme devra être plus ou moins détaillé selon le niveau d’abstraction du langage utilisé, de même qu'une recette de cuisine doit être plus ou moins détaillée selon l’expérience du cuisinier.

Étude formelle

De nombreux outils formels ou théoriques ont été développés pour décrire les algorithmes, les étudier, exprimer leurs qualités, pouvoir les comparer :

• Ainsi, pour décrire les algorithmes, des structures algorithmiques ont été mises en évidence : structures de contrôle et structures de données.
• Pour justifier de la qualité des algorithmes, les notions de correction, de complétude et de terminaison ont été mises en place.
• Enfin, pour comparer les algorithmes, une théorie de la complexité des algorithmes a été définie.

Structures algorithmiques

Les concepts en œuvre en algorithmique, par exemple selon l'approche de N. Wirth pour les langages les plus répandus (Pascal, C, etc.), sont en petit nombre. Ils appartiennent à deux classes :

• les structures de contrôle
  • séquences
  • conditionnelles
  • boucles
• les structures de données
  • constantes
  • variables
  • tableaux
  • structures récursives (listes, arbres, graphes)

Ce découpage est parfois difficile à percevoir pour certains langages (Lisp, Prolog…) plus basés sur la notion de récursivité où certaines structures de contrôle sont implicites et, donc, semblent disparaître.

Correction, complétude, terminaison

Ces trois notions « correction », « complétude », « terminaison » sont liées, et supposent qu'un algorithme est écrit pour résoudre un problème.

La terminaison est l'assurance que l'algorithme terminera en un temps fini. Les preuves de terminaison font habituellement intervenir une fonction entière positive strictement décroissante à chaque « pas » de l'algorithme.

Étant donnée la garantie qu'un algorithme terminera, la preuve de correction doit apporter l'assurance que si l'algorithme termine en donnant une proposition de solution, alors cette solution est correcte — c'est-à-dire qu'elle est effectivement une solution au problème posé.

La preuve de complétude garantit que, pour un espace de problèmes donné, l'algorithme, s'il termine, donnera une solution pour chacune des entrées.

Complexité algorithmique

Les principales notions mathématiques dans le calcul du coût d’un algorithme précis sont les notions de domination (notée O(f(n)), « grand o »), où f est une fonction mathématique de n, variable désignant la quantité d’informations (en bits, en nombre d’enregistrements, etc.) manipulée dans l’algorithme. En algorithmique on trouve souvent des complexités du type :

Notation	Type de complexité
	complexité constante (indépendante de la taille de la donnée)
	complexité logarithmique
	complexité linéaire
	complexité quasi-linéaire
	complexité quadratique
	complexité cubique
	complexité polynomiale
	complexité quasi-polynomiale
	complexité exponentielle
	complexité factorielle

Sans entrer dans les détails mathématiques, le calcul de l’efficacité d’un algorithme (sa complexité algorithmique) consiste en la recherche de deux quantités importantes. La première quantité est l’évolution du nombre d’instructions de base en fonction de la quantité de données à traiter (par exemple, pour un algorithme de tri, il s'agit du nombre de données à trier), que l’on privilégiera sur le temps d'exécution mesuré en secondes (car ce dernier dépend de la machine sur laquelle l'algorithme s'exécute). La seconde quantité estimée est la quantité de mémoire nécessaire pour effectuer les calculs. Baser le calcul de la complexité d’un algorithme sur le temps ou la quantité effective de mémoire qu’un ordinateur particulier prend pour effectuer ledit algorithme ne permet pas de prendre en compte la structure interne de l’algorithme, ni la particularité de l’ordinateur : selon sa charge de travail, la vitesse de son processeur, la vitesse d’accès aux données, l’exécution de l’algorithme (qui peut faire intervenir le hasard) ou son organisation de la mémoire, le temps d’exécution et la quantité de mémoire ne seront pas les mêmes.

Souvent, on examine les performances "au pire", c'est-à-dire dans les configurations telles que le temps d'exécution ou l'espace mémoire est le plus grand. Il existe également un autre aspect de l'évaluation de l'efficacité d'un algorithme : les performances "en moyenne". Cela suppose d'avoir un modèle de la répartition statistique des données de l'algorithme, tandis que la mise en œuvre des techniques d'analyse implique des méthodes assez fines de combinatoire et d'évaluation asymptotique, utilisant en particulier les séries génératrices et des méthodes avancées d'analyse complexe. L'ensemble de ces méthodes est regroupé sous le nom de combinatoire analytique.

On trouvera dans l’article sur la théorie de la complexité des algorithmes d’autres évaluations de la complexité qui vont en général au-delà des valeurs proposées ci-dessus et qui répartissent les problèmes (plutôt que les algorithmes) en classes de complexité.

Quelques indications sur l’efficacité des algorithmes

Souvent, l’efficacité d’un algorithme n’est connue que de manière asymptotique, c’est-à-dire pour de grandes valeurs du paramètre n. Lorsque ce paramètre est suffisamment petit, un algorithme de complexité asymptotique plus grande peut en pratique être plus efficace. Ainsi, pour trier un tableau de 30 lignes (c’est un paramètre de petite taille), il est inutile d’utiliser un algorithme évolué comme le tri rapide (l’un des algorithmes de tri asymptotiquement les plus efficaces en moyenne) : l’algorithme de tri le plus simple à écrire sera suffisamment efficace.

Entre deux algorithmes dont la complexité est identique, on cherchera à utiliser celui dont l’occupation mémoire est la plus faible. L’analyse de la complexité algorithmique peut également servir à évaluer l’occupation mémoire d’un algorithme. Enfin, le choix d’un algorithme plutôt qu’un autre doit se faire en fonction des données que l’on s’attend à lui fournir en entrée. Ainsi, le tri rapide, lorsque l’on choisit le premier élément comme pivot, se comporte de façon désastreuse si on l’applique à une liste de valeurs déjà triée. Il n’est donc pas judicieux de l’utiliser si on prévoit que le programme recevra en entrée des listes déjà presque triées ou alors il faudra choisir le pivot aléatoirement.

Un autre paramètre à prendre en compte est la localité de l’algorithme. Par exemple pour un système à mémoire virtuelle qui dispose de peu de mémoire vive (par rapport au nombre de données à traiter), le tri rapide sera normalement plus efficace que le tri par tas car le premier ne passe qu’une seule fois sur chaque élément de la mémoire tandis que le second accède à la mémoire de manière discontinue (ce qui augmente le risque de swapping).

Enfin, il existe certains algorithmes dont l'analyse de complexité est dite amortie. Cela signifie que, pour certaines exécutions de l’algorithme (cas marginaux), la complexité de l’algorithme sera très supérieure au cas moyen, mais sera compensée par des exécutions rendues efficaces du même algorithme dans une suite d'invocations de cet algorithme.

L'analyse lisse mesure les performances des algorithmes sur les pires cas, mais avec une légère perturbation des instances. Elle permet d'expliquer pourquoi des algorithmes analysés comme inefficaces autrement sont en fait efficaces en pratique. L'algorithme du simplexe est un exemple d'un algorithme qui se comporte bien pour l'analyse lisse.

Approches pratiques

L'algorithmique a développé quelques stratégies pour résoudre les problèmes :

• algorithme glouton : un premier algorithme peut souvent être proposé en étudiant le problème très progressivement : on résout chaque sous-problème localement en espérant que l'ensemble de leurs résultats composera bien une solution du problème global. On parle alors d'algorithme glouton. L'algorithme glouton n'est souvent qu'une première étape dans la rédaction d'un algorithme plus performant.
• diviser pour régner : pour améliorer les performances des algorithmes, une technique usuelle consiste à diviser les données d'un problème en sous-ensembles de tailles plus petites, jusqu'à obtenir des données que l'algorithme pourra traiter au cas par cas. Une seconde étape dans ces algorithmes consiste à « fusionner » les résultats partiels pour obtenir une solution globale. Ces algorithmes sont souvent associés à la récursivité.
• recherche exhaustive (ou combinatoire) : une méthode utilisant l'énorme puissance de calcul des ordinateurs consiste à regarder tous les cas possibles. Cela n'est pour autant possible que dans certains cas particuliers (la combinatoire est souvent plus forte que l'énorme puissance des ordinateurs, aussi énorme soit-elle)
• décomposition top-down / bottom-up : (décomposition descendante, décomposition remontante) les décompositions top-down consistent à essayer de décomposer le problème en sous-problèmes à résoudre successivement, la décomposition allant jusqu'à des problèmes triviaux faciles à résoudre. L'algorithme global est alors donné par la composée des algorithmes définis au cours de la décomposition. La démarche bottom-up est la démarche inverse, elle consiste à partir d'algorithmes simples, ne résolvant qu'une étape du problème, pour essayer de les composer pour obtenir un algorithme global.
• pré-traitement / post-traitement : parfois, certains algorithmes comportent une ou deux phases identifiées comme des pré-traitements (à faire avant l'algorithme principal), ou post-traitement (à faire après l'algorithme principal), pour simplifier l'écriture de l'algorithme général.
• programmation dynamique : elle s'applique lorsque le problème d'optimisation est composé de plusieurs sous-problèmes de même nature, et qu'une solution optimale du problème global s'obtient à partir de solutions optimales des sous-problèmes.

Les heuristiques

Pour certains problèmes, les algorithmes ont une complexité beaucoup trop grande pour obtenir un résultat en temps raisonnable, même si l’on pouvait utiliser une puissance de calcul phénoménale. On est donc amené à rechercher la solution de façon non systématique (Algorithme de Las Vegas) ou de se contenter d'une solution la plus proche possible d’une solution optimale en procédant par essais successifs (Algorithme de Monte-Carlo). Puisque toutes les combinaisons ne peuvent être essayées, certains choix stratégiques doivent être faits. Ces choix, généralement très dépendants du problème traité, constituent ce qu’on appelle une heuristique. Le but d’une heuristique n'est donc pas d'essayer toutes les combinaisons possibles, mais de trouver une solution en un temps raisonnable et par un autre moyen, par exemple en procédant à des tirages aléatoires. La solution peut être exacte (Las Vegas) ou approchée (Monte-Carlo). Les algorithmes d'Atlantic City quant à eux donnent de façon probablement efficace une réponse probablement juste (disons avec une chance sur cent millions de se tromper) à la question posée.

C’est ainsi que les programmes de jeu d’échecs ou de jeu de go (pour ne citer que ceux-là) font appel de manière très fréquente à des heuristiques qui modélisent l’expérience d’un joueur. Certains logiciels antivirus se basent également sur des heuristiques pour reconnaître des virus informatiques non répertoriés dans leur base, en s’appuyant sur des ressemblances avec des virus connus, c'est un exemple d'algorithme d'Atlantic City. De même le problème SAT qui est l'archétype du problème NP-complet donc très difficile est résolu de façon pratique et efficace par la mise au point d'heuristiques^[3].

Exemples d’algorithmes, de problèmes, d'applications ou domaines d'application

Il existe un certain nombre d’algorithmes classiques, utilisés pour résoudre des problèmes ou plus simplement pour illustrer des méthodes de programmation. On se référera aux articles suivants pour de plus amples détails (voir aussi liste des algorithmes) :

• Algorithmes ou problèmes classiques (du plus simple ou plus complexe)
  • échange, ou comment échanger les valeurs de deux variables : problème classique illustrant la notion de variable informatique (voir aussi Structure de données)
  • Algorithmes de recherche, ou comment retrouver une information dans un ensemble structuré ou non (par exemple Recherche dichotomique)
  • algorithme de tri, ou comment trier un ensemble de nombres le plus rapidement possible ou en utilisant le moins de ressources possible
  • problème du voyageur de commerce, problème du sac à dos, problème SAT et autres algorithmes ou approximations de solutions pour les problèmes combinatoires difficiles (dit NP-complets)
• Algorithmes ou problèmes illustrant la programmation récursive (voir aussi algorithme récursif)
  • tours de Hanoï
  • huit dames, placer huit dames sur un échiquier sans qu’elles puissent se prendre entre elles,
  • suite de Conway,
  • algorithme de dessins récursifs (fractale) pour le Tapis de Sierpiński, la Courbe du dragon, le Flocon de Koch…
• Algorithmes dans le domaine des mathématiques
  • calcul de la factorielle d'un nombre, de la Fonction d'Ackermann ou de la suite de Fibonacci,
  • algorithme du simplexe, qui minimise une fonction linéaire de variables réelles soumises à des contraintes linéaires,
  • fraction continue d'un nombre quadratique, permettant d'extraire une racine carrée, cas particulier de la méthode de Newton
  • dans le domaine de l'algèbre : l'algorithme d'unification, le calcul d'une base de Gröbner d'un idéal de polynôme et plus généralement presque toutes les méthodes de calcul symbolique,
  • en théorie des graphes qui donne lieu à de nombreux algorithmes,
  • test de primalité.
• Algorithmes pour et dans le domaine de l'informatique
  • cryptologie et compression de données
  • Informatique musicale
  • algorithme génétique en informatique décisionnelle
  • Analyse et compilation des langages formels (voir Compilateur et Interprète (informatique))
  • allocation de mémoire (ramasse-miettes)

Notes et références

Voir aussi

Articles connexes

• Al-Khuwarizmi
• Algorithme récursif
• Algorithme réparti
• Algorithme émergent
• Algorithme adaptatif
• Liste des algorithmes
• Métaheuristique
• Recherche opérationnelle

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