Sottospazio ortogonale

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In algebra lineare, il sottospazio ortogonale realizza il concetto di perpendicolarità per sottospazi di uno spazio vettoriale munito di un prodotto scalare.

Quando il prodotto scalare è definito positivo, il sottospazio ortogonale è spesso chiamato anche complemento ortogonale.

Indice

1 Definizione
- 1.1 Richiami
- 1.2 Sottospazio ortogonale
2 Proprietà
3 Voci correlate

[modifica] Definizione

[modifica] Richiami

Sia $V$ uno spazio vettoriale su un campo $K$ , munito di un prodotto scalare o di una forma hermitiana

$\phi:V\times V\to K.$

Un prodotto scalare può essere definito per un campo $K$ qualsiasi, mentre una forma hermitiana è definita solo per $K = \mathbb C$ .

Due vettori $v, w$ di $V$ sono ortogonali se $φ(v, w) = 0$ .

[modifica] Sottospazio ortogonale

Sia $W$ un sottospazio vettoriale di $V$ . Il sottospazio ortogonale $W^\perp$ di $W$ è l'insieme dei vettori ortogonali a tutti i vettori di $W$ :

$W^\perp = \{w \in V\ |\ \phi(w,w') = 0\ \forall w'\in W\}.$

[modifica] Proprietà

[modifica] Dimensioni e somma diretta

Il sottospazio ortogonale è un sottospazio vettoriale di $V$ . La sua dimensione non è fissata generalmente, ma vale la disuguaglianza

$\dim W + \dim W^\perp \geq \dim V.$

Se il prodotto scalare o la forma hermitiana è non degenere, vale l'uguaglianza

$\dim W + \dim W^\perp = \dim V.$

Infine, se $K = \R$ e $φ$ è un prodotto scalare è definito positivo, oppure se $K = \mathbb C$ e $φ$ è una forma hermitiana definita positiva, lo spazio $W$ ed il suo ortogonale sono in somma diretta:

$W \oplus W^\perp = V.$

Questo è il caso ad esempio in ogni spazio euclideo o spazio di Hilbert. Lo stesso risultato vale se $φ$ è definito negativo. Per questo motivo, se $φ$ è definito positivo o negativo il sottospazio ortogonale è chiamato anche complemento ortogonale.