Somma diretta

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In matematica, e più precisamente in algebra lineare, la somma diretta indica una particolare proprietà di due o più sottospazi vettoriali.

Indice

1 Definizione
2 Dimensioni
3 Esempi
4 Componenti e proiezione
- 4.1 Esempio
5 Voci correlate

[modifica] Definizione

Due sottospazi $U$ e $W$ di uno spazio vettoriale $V$ sono in somma diretta se $U\cap W =\{0\}$ . Se inoltre $V = U + W$ , si dice che $V$ si decompone in somma diretta di $U$ e $W$ e si scrive

$V = U \oplus W.$

In questo caso il sottospazio $W$ è un complementare di $U$ (e viceversa).

[modifica] Dimensioni

Per la formula di Grassmann, due spazi sono in somma diretta se e solo se

$\dim(U + W) = \dim(U) + \dim(W).$

Quando due spazi non sono in somma diretta, il termine a sinistra è strettamente minore di quello a destra.

[modifica] Esempi

Lo spazio $M (n)$ delle matrici quadrate $n\times n$ a coefficienti in un campo $K$ si decompone nei sottospazi delle matrici simmetriche e antisimmetriche:

$M(n) = S(n) \oplus A(n).$

Le dimensioni relative dei sottospazi sono:

$n^2 = \frac{n(n+1)}2 + \frac {n(n-1)}2.$

[modifica] Componenti e proiezione

Se $U$ e $W$ sono in somma diretta, ogni elemento $z$ del sottospazio somma $U + W$ si scrive unicamente come

z = u + w

dove $u$ e $w$ sono elementi rispettivamente di $U$ e $W$ . Gli elementi $u$ e $w$ sono le componenti di $z$ lungo i due sottospazi. Grazie all'unicità di queste, è possibile definire due proiezioni

$p_U:U+W \to U, \quad p_W:U+W\to W$

semplicemente ponendo

$p_U(z) = u, \quad p_W(z) = w.$

[modifica] Esempio

Ad esempio, nella decomposizione con $U = S (n)$ e $W = A (n)$ descritta sopra, le proiezioni sono le seguenti:

$p_U(M) = \frac{M+M^t}2, \quad p_W(M) = \frac{M-M^t}2.$

Queste proiezioni rappresentano concretamente ogni matrice in una somma di una matrice simmetrica e una antisimmetrica. Difatti,

$M = \frac{M+M^t}2 + \frac{M-M^t}2$

e inoltre

$\left(\frac{M+M^t}2\right)^t = \frac{M^t+(M^t)^t}2 = \frac{M^t+M}2 = \frac{M+M^t}2$

mostra che la matrice $p U (M)$ è effettivamente simmetrica (perché uguale alla sua trasposta: si verifica analogamente che $p W (M)$ è antisimmetrica).