Formula di Grassmann

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In matematica, la formula di Grassmann è una relazione che riguarda le dimensioni dei sottospazi vettoriali di uno spazio vettoriale o dei sottospazi proiettivi di uno spazio proiettivo.

Il nome è stato scelto in onore del matematico tedesco Hermann Grassmann (1809-1877).

Indice

1 Definizione
2 Esempi
- 2.1 Spazio tridimensionale
- 2.2 Somma diretta
  - 2.2.1 Definizione
  - 2.2.2 Esempi
3 Dimostrazione
4 Proprietà
5 Voci correlate

[modifica] Definizione

Sia $V$ uno spazio vettoriale su un campo $K$ dotato di dimensione finita, cioè dotato di una base finita; siano $W$ e $U$ due sottospazi di $V$ . Indichiamo con $W + U$ il sottospazio somma di $W$ e $U$ , dato da:

$W + U := \{ w+u\ |\ w \in W, u \in U\}$

e con $W\cap U$ il loro sottospazio intersezione.

La formula di Grassman afferma che:

$\dim(W) + \dim(U) = \dim(W + U) + \dim(W \cap U)$

[modifica] Esempi

[modifica] Spazio tridimensionale

Questa formula si visualizza facilmente e significativamente nel caso in cui $V$ sia lo spazio vettoriale tridimensionale sui reali $\R^3$ ; le possibilità per i sottospazi portano alla seguente casistica:

Uno dei due sottospazi $W$ o $U$ ha dimensione 0 o 3: in questo caso (a meno di scambiare i nomi dei due sottospazi) abbiamo $W + U = U$ e $W\cap U = W$ e la formula si riduce a una identità.
W e U sono sottospazi di dimensione 1 (cioè rette passanti per l'origine):
- se le rette sono distinte $W\cap U$ contiene solo il vettore nullo ed ha dimensione 0 e $W + U$ è il piano contenente le due rette, per cui la formula si riduce a 1 + 1 = 2 + 0.
- se coincidono $W + U = W = U = W\cap U$ e ancora si ha una identità.
W è una retta per l'origine e U un piano per l'origine:
- se la retta non giace nel piano si ha: 1 + 2 = 3 + 0;
- se la retta giace nel piano: 1 + 2 = 2 + 1.
W e U sono piani per l'origine:
- se non coincidono la loro intersezione è una retta e si ha: 2 + 2 = 3 + 1;
- se coincidono si ha un'identita` che numericamente afferma: 2 + 2 = 2 + 2.

[modifica] Somma diretta

Per approfondire, vedi la voce somma diretta.

[modifica] Definizione

Due sottospazi $U$ e $W$ sono in somma diretta se $U\cap W =\{0\}$ . In questo caso la formula di Grassmann asserisce che

$\dim(U + W) = \dim(U) + \dim(W).$

Se inoltre $V = U + W$ , si dice che $V$ si decompone in somma diretta di $U$ e $W$ e si scrive

$V = U \oplus W.$

In questo caso il sottospazio $W$ è un supplementare di $U$ (e viceversa).

[modifica] Esempi

Lo spazio $M (n)$ delle matrici quadrate $n\times n$ a coefficienti in un campo $K$ si decompone nei sottospazi delle matrici simmetriche e delle antisimmetriche:

$M(n) = S(n) \oplus A(n).$

La formula di Grassmann porta alla uguaglianza concernente le dimensioni dei due sottospazi della forma:

$n^2 = \frac{n(n+1)}2 + \frac {n(n-1)}2.$

[modifica] Dimostrazione

[modifica] Struttura della dimostrazione

La formula si dimostra individuando due basi per $W$ e $U$ che hanno in comune i vettori che costituiscono una base per la loro intersezione. Più precisamente, si prende una base $B$ per $W\cap U$ , e si completa ad una base

$B \cup B_U$

di $U$ , e ad una base

$B \cup B_W$

di $W$ . I vettori in

$B \cup B_U \cup B_W$

generano lo spazio $U + W$ , si verifica che sono indipendenti, e quindi sono una base per $U + W$ . Un conteggio degli elementi nelle quattro basi trovate fornisce la formula di Grassmann.

[modifica] Verifica dell'indipendenza lineare

L'unico fatto che necessita di una dimostrazione approfondita è l'indipendenza dei vettori in

$B \cup B_U \cup B_W$

che viene mostrata nel modo seguente: sia

$B = \{v_1,\ldots, v_d\},\quad B_U = \{u_1,\ldots,u_s\},\quad B_W =\{w_1,\ldots,w_t\}.$

Supponiamo l'esistenza di una combinazione lineare nulla

$\lambda_1v_1+\ldots \lambda_dv_d+ \mu_1u_1+\ldots+\mu_su_s+\gamma_1w_1+\ldots+\gamma_tw_t = 0. \,\!$

In altre parole, raggruppando

$v = \lambda_1v_1+\ldots \lambda_dv_d, \quad u = \mu_1u_1+\ldots+\mu_su_s, \quad w = \gamma_1w_1+\ldots+\gamma_tw_t$

si ottiene

$v + u + w = 0. \,\!$

Da questo segue che $w = - v - u$ , e poiché sia $v$ che $u$ appartengono a $U$ , ne segue che anche $w$ appartiene a $U$ . Quindi v appartiene all'intersezione $U\cap W$ , e si scrive come combinazione lineare di elementi di $B$ . D'altra parte, come elemento di $W$ , è descritto come combinazione lineare di elementi di $B W$ : poiché ogni elemento ha un'unica descrizione come combinazione lineare di elementi di una base, ne segue che entrambe queste combinazioni hanno tutti i coefficienti nulli. Quindi