Numeri primi gemelli

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Si definiscono numeri primi gemelli due numeri primi che differiscono tra loro di due. Fatta eccezione per la coppia (2, 3), questa è la più piccola differenza possibile fra due primi. Alcuni esempi di coppie di primi gemelli sono 5 e 7, 11 e 13, e 821 e 823.

Il problema dell'esistenza o meno di infiniti numeri primi gemelli è da tanti anni uno dei più grandi problemi aperti della teoria dei numeri, che prende il nome di congettura dei numeri primi gemelli. Vi è anche una versione più forte, la congettura di Hardy-Littlewood, che postula una legge sulla distribuzione dei primi gemelli analoga al teorema dei numeri primi.

Usando il suo famoso metodo del crivello, Viggo Brun mostrò che il numero di primi gemelli minori di x è $\ll \frac{x}{log x^2} \,$ . Questo risultato implica che la somma dei reciproci di tutti i primi gemelli converge (vedi costante di Brun). Ciò è in evidente contrasto con la somma dei reciproci di tutti i primi, che diverge. Egli dimostrò anche che ogni numero pari si può scrivere in infiniti modi come differenza di due numeri che abbiano entrambi al più 9 fattori primi. Il noto teorema di Chen Jingrun afferma che per ogni m pari, esistono infiniti numeri primi che differiscono di m da un numero che abbia al massimo 2 fattori primi (cioè un semiprimo).
Prima di Brun, anche Jean Merlin aveva tentato di risolvere il problema con il metodo del crivello. Fu ucciso nella Prima Guerra Mondiale.

Ogni coppia di primi gemelli maggiore di 3 è della forma (6n - 1, 6n + 1) per qualche numero naturale n, e, con l'eccezione di n = 1, n deve terminare in 0, 2, 3, 5, 7, o 8.

È stato dimostrato che (m, m + 2) è una coppia di primi gemelli se e solo se

$4((m-1)! + 1) = -m \mod (m(m+2))$

Un'analisi empirica di tutte le coppie di primi gemelli fino a 4.35 · 10¹⁵ mostra che il numero di tali coppie formate da numeri minori di x è x·f(x)/(log x)² dove f(x) è circa 1.7 per valori piccoli di x e si riduce a circa 1.3 al tendere di x all'infinito. Si congettura che il valore limite di f(x) sia uguale alla costante dei numeri primi gemelli

$2 \prod_{p \geq 3} (1 - \frac{1}{(p-1)^2}) = 1.3203236\ldots;$

questa congettura implicherebbe la congettura dei numeri primi gemelli, ma è irrisolta.

Indice

1 Record
2 Le prime 35 coppie di numeri primi gemelli
3 Voci correlate
4 Collegamenti esterni

[modifica] Record

La più grande coppia di primi gemelli nota è 2003663613 · 2¹⁹⁵⁰⁰⁰ ± 1; fu trovata il 15 gennaio 2007 da un team composto da: Eric Vautier (Francia), Dmitri Gribenko (Ucraina), Patrick W. McKibbon (U.S.A.), Michael Kwok (U.S.A.), Andrea Pacini (Italia), Rytis Slatkevicius (Lituania). Tale coppia è formata da 58711 cifre decimali.

[modifica] Le prime 35 coppie di numeri primi gemelli

(3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101, 103), (107, 109), (137, 139), (149, 151), (179, 181), (191, 193), (197, 199), (227, 229), (239, 241), (269, 271), (281, 283), (311, 313), (347, 349), (419, 421), (431, 433), (461, 463), (521, 523), (569, 571), (599, 601), (617, 619), (641, 643), (659, 661), (809, 811), (821, 823), (827, 829), (857, 859), (881, 883)

Solo quattro di queste coppie di primi sono primi irregolari. Il più piccolo membro di una coppia è sempre un numero primo di Chen.