Meccanica hamiltoniana

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In fisica la meccanica hamiltoniana è una riformulazione della meccanica classica ideata nel 1833 da William Rowan Hamilton. Deriva dalla meccanica lagrangiana, a sua volta riformulazione della meccanica classica introdotta da Joseph-Louis Lagrange nel 1788. Si può tuttavia derivare senza ricorso alla meccanica lagrangiana, usando le varietà simplettiche.

In analogia alla costruzione del fibrato tangente in meccanica lagrangiana porta a definire per la meccanica hamiltoniana il concetto di fibrato cotangente inteso come lo spazio in cui in luogo dei vettori tangenti in ogni punto della varietà differenziabile (presi come velocità generalizzate) si usano i differenziali della funzione Lagrangiana, (presi come momenti coniugati) chiamati per questo covettori: in tal modo le equazioni di Hamilton "vivono" in uno spazio cotangente rappresentato da $T * M$ a sua volta una varietà differenziabile immersa in uno spazio euclideo 2n-dimensionale.

Indice

1 Derivazione dalla meccanica lagrangiana
2 Energia del sistema
3 Sistemi hamiltoniani dipendenti dal tempo
4 Integrali primi
5 Voci correlate
6 Collegamenti esterni
7 Bibliografia

[modifica] Derivazione dalla meccanica lagrangiana

In meccanica lagrangiana, le equazioni del moto sono scritte in coordinate generalizzate

$\left\{\, q_j | j=1, \ldots,N \,\right\}$

e le corrispondenti velocità generalizzate

$\left\{\, \dot{q}_j | j=1, \ldots ,N \,\right\}$

Con leggero abuso di notazione, si scrive la Lagrangiana come

$L(q_j, \dot{q}_j, t)$

con le variabili con indice intese a rappresentare tutte le N variabili di quel tipo. La meccanica hamiltoniana sostituisce le velocità generalizzate con i momenti generalizzati, conosciuti anche come momenti coniugati o momenti cinetici. In questo modo è possibile trattare alcuni sistemi in modo più semplice, particolarmente in meccanica quantistica.

Per ogni velocità generalizzata, c'è un corrispondente momento coniugato, definito come:

$p_j = {\partial L \over \partial \dot{q}_j}$

In coordinate cartesiane, i momenti generalizzati sono esattamente i momenti lineari. In coordinate sferiche, il momento generalizzato corrispondente alla velocità angolare è il momento angolare. Per una scelta arbitraria di coordinate generalizzate, potrebbe non essere possibile trovare una interpretazione intuitiva per il momento coniugato.

Una cosa non immediatamente ovvia in questa formulazione dipendente dalle coordinate è che le differenti coordinate generalizzate in realtà non sono altre che differenti sistemi di coordinate che descrivono la stessa varietà simplettica.

L'hamiltoniana è la trasformata di Legendre della lagrangiana:

$H\left(q_j,p_j,t\right) = \sum_i \dot{q}_i p_i - L(q_j,\dot{q}_j,t)$

Se le equazioni della trasformazione che definiscono le coordinate generalizzate sono indipendenti da t, si può mostrare che H è uguale all'energia totale E = T + V.

Differenziando entrambi i membri:

$\begin{matrix} dH &=& \sum_i \left[ \left({\partial H \over \partial q_i}\right) dq_i + \left({\partial H \over \partial p_i}\right) dp_i \right] + \left({\partial H \over \partial t}\right) dt\qquad\qquad\quad\quad \\ \\ &=& \sum_i \left[ \dot{q}_i\, dp_i + p_i\, d\dot{q}_i - \left({\partial L \over \partial q_i}\right) dq_i - \left({\partial L \over \partial \dot{q}_i}\right) d\dot{q}_i \right] - \left({\partial L \over \partial t}\right) dt \end{matrix}$

Sostituendo la definizione precedente dei momenti coniugati e accoppiando i coefficienti, si ottengono le equazioni del moto nella meccanica hamiltoniana, chiamate equazioni canoniche di Hamilton:

${\partial H \over \partial q_j} = - \dot{p}_j, \qquad {\partial H \over \partial p_j} = \dot{q}_j, \qquad {\partial H \over \partial t } = - {\partial L \over \partial t}$

Le equazioni di Hamilton sono equazioni differenziali del primo ordine, e quindi più facili da risolvere rispetto alle equazioni di Lagrange (che sono del secondo ordine). Tuttavia, i passaggi che portano alle equazioni del moto sono più onerosi che in meccanica lagrangiana - si parte con le coordinate generalizzate e la lagrangiana, poi si calcola l'hamiltoniana, si esprime ogni velocità generalizzata in termini dei momenti coniugati, e si sostituiscono le velocità generalizzate nell'hamiltoniana con i momenti coniugati. Considerando ciò, non è in generale più semplice risolvere un problema in meccanica hamiltoniana piuttosto che lagrangiana. Essa produrrà gli stessi risultati della meccanica lagrangiana e delle equazioni del moto di Newton.

[modifica] Energia del sistema

L'hamiltoniana del sistema assume un significato immediato solo nel caso in cui il sistema è soggetto a vincoli olonomi, bilateri, perfetti indipendenti dal tempo: in tal caso l'hamiltonina è l'energia totale del sistema:

H = T + V

[modifica] Sistemi hamiltoniani dipendenti dal tempo

La generalizzazione a sistemi dipendenti dal tempo è in verità banale nel caso della meccanica hamiltoniana: ogni sistema hamiltoniano può essere ricondotto ad un sistema indipendente dal tempo con l'aggiunta di una ulteriore coppia di $(q 0, p 0)$ in luogo del parametro temporale, che diventa quindi un'altra coppia di coordinate nello spazio delle fasi, e ridefinire la nuova Hamiltoniana:

$\hat{H}(q_i,p_i,q_0,p_0) = H(q_i,p_i, q_0) + p_0$

dove H è l'originaria hamiltoniana cui è aggiunta una coordinata.

L'attrattiva principale dell'approccio hamiltoniano è che esso fornisce le basi per risultati più profondi nella teoria della meccanica quantistica.

[modifica] Integrali primi

Per approfondire, vedi la voce Teorema di Noether.

Un integrale primo del moto per un sistema hamiltoniano è una funzione definita nello spazio delle fasi il cui valore rimane costante lungo il moto del sistema, cioè lungo le soluzioni delle equazioni di Hamilton. Il termine è mutuato dallo studio dei sistemi dinamici di cui le equazioni di Hamilton fanno parte.

Per approfondire, vedi la voce Coordinata ciclica.

Se l'hamiltoniana di un sistema non dipende da una coordinata $q i$ allora il momento coniugato corrispondente a tale coordinata è un integrale primo del moto cioè si conserva:

$\frac{\partial H}{\partial q_i} = 0 \; \Rightarrow \; \dot p_i = 0 \; p_i = cost$

Se l'hamiltoniana $H (q, p)$ non dipende esplicitamente dal tempo allora è una costante del moto.

La conoscenza di integrali primi del moto è fondamentale perché permettono di scrivere velocemente equazioni caratteristiche del moto e facilitano l'analisi qualitativa del moto stesso. Gli integrali primi sono inoltre fondamentali nella Teoria di Hamilton-Jacobi.