Equazione differenziale ordinaria

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Un' equazione differenziale ordinaria è un'equazione differenziale che coinvolge funzioni in una sola variabile. Non esistono metodi generali di risoluzione, ma vanno affrontati i vari casi singolarmente. Particolarmente semplici risultano le equazioni differenziali lineari, di qualunque ordine, in quanto è sempre possibile ricondurle ad un sistema di equazioni lineari del primo ordine, tramite sostituzioni del tipo

$u_1=x'_1, u_2=u'_1, \ldots , u_n=u'_{n-1}\,$

Lo studio delle soluzioni delle equazioni differenziali ordinarie, chiamate solitamente "integrali", è fatto principalmente riconducendole a casi del primo ordine o casi particolari noti.

[modifica] Definizioni fondamentali

Definizione: Equazione differenziale ordinaria

Sia

$F: \Omega \subseteq \mathbb{C}^{n+1} \rightarrow \mathbb{C}, \quad \Omega \ne \varnothing , \,\!$ insieme aperto e connesso, $n \in \N \!$ .

Si dice equazione differenziale ordinaria di ordine $n \!$ una relazione del tipo

$F \left( x, u(x), u'(x), \ldots, u^{(n)}(x) \right) = 0 \quad ,\!$

dove con $u^{(i)}(x) \!$ si indica la derivata i-esima della funzione $u(x) .\!$

Se $F \!$ è definita in un regione $\Omega \!$ dello spazio euclideo $\R^{n+2} \!$ , si parlerà più propriamente di equazioni differenziali ordinarie nel campo reale, a valori reali se $F \!$ è a valori in $\R . \!$

L'ordine di un'equazione è l'ordine massimo di derivazione che vi compare. Invece l'aggettivo ordinario si riferisce al fatto che l'incognita è una funzione di una sola variabile. Si parla invece di equazione differenziale alle derivate parziali quando l'incognita è funzione di più variabili.

Definizione: Soluzione dell'equazione differenziale ordinaria

Sia $I \!$ un intervallo di $\R \!$ :

si dice soluzione (o integrale) dell'equazione

$F \left( x, u(x), u'(x), \ldots, u^{(n)}(x) \right) = 0 \!$

una funzione

$\varphi = \varphi(x)\!$

tale che

$\varphi(x) \in C^n(I)~~\mathrm{e}~~F \left( x, \varphi(x), \varphi'(x), \ldots, \varphi^{(n)}(x) \right) = 0 \qquad \forall x \in I .\!$

Definizione: Equazione differenziale ordinaria autonoma

Un'equazione differenziale ordinaria si dice autonoma se $F \!$ non dipenderà esplicitamente da $x \!$ .

$F \left(u, u', \ldots, u^{(n)} \right) = 0 \!$

Definizione: Forma normale dell'equazione differenziale ordinaria

L'equazione

$F \left(x, u, u', \ldots, u^{(n)} \right) = 0 \!$

si dirà in forma normale se è possibile esplicitarla rispetto $u^{(n)}(x) \!$ , cioè

$u^{(n)}(x) = G \left(x, u, u', \ldots, u^{(n-1)} \right) \!$

Definizione: Equazione differenziale ordinaria lineare

L'equazione

$F \left(x, u, u', \ldots, u^{(n)} \right) = 0 \!$

si dirà lineare se $F \!$ è lineare in $u, u', \ldots, u^{(n)} \!$ , cioè

$F \left(x, u, u', \ldots, u^{(n)} \right) = a_0(x) + a_1(x)u + a_2(x)u' + \ldots + a_{n+1}(x)u^{(n)} \quad , \!$

con

$a_0, a_1, \ldots, a_{n+1} \in C^0(I) \!$

Molto spesso, invece, ci si trova a che fare con sistemi di equazioni differenziali ordinarie, in più funzioni incognite, tutte dipendenti da una sola, e stessa, variabile.

Definizione: Sistema di equazioni differenziali ordinarie

Diremo sistema di equazioni differenziali ordinarie di ordine 1, in forma normale, una relazione vettoriale del tipo:

$\bold{u}' = \bold{f} \left( x, \bold{u} \right ) \!$

Definizione: Soluzione classica di un sistema di equazioni differenziali ordinarie

Diremo soluzione classica di un sistema di equazioni differenziali ordinarie di ordine 1 una funzione $\boldsymbol{\varphi}\!$ tale che

$\boldsymbol{\varphi}(x)\in C^1\left (I;\R^n\right )~~\mathrm{e}~~\boldsymbol{\varphi}' = \bold{f} \left ( x, \boldsymbol{\varphi} \right ) \qquad \forall x \in I \!$

Di particolare rilevanza ai fini pratici è la riduzione di un'equazione differenziale ordinaria, scritta in forma normale, a un sistema differenziale del primo ordine. Questa tecnica permette di semplificare notevolmente alcuni tipi di problemi, evitando l'introduzione di complesse forme di risoluzione.

Sia

$u^{(n)}(x) = G \left(x, u, u', \ldots, u^{(n-1)} \right) \!$

un'equazione differenziale di ordine n di tipo normale.

Partiamo definendo $z_i = u^{(i-1)}(x)\, , i \in\{1, \ldots, n\}$ e il vettore $\bold{z} = \left [ z_i \right ] \!$ (la notazione è relativa a quella già usata in precedenza), per cui vale la seguente relazione:

$z_{i-1} '= z_i \!$ ; in particolare $z_{n}'=u^{(n)}(x) \!$

L'equazione differenziale è dunque equivalente al sistema:

$\begin{cases} z_1'=z_2 \\ z_2'=z_3 \\ \vdots \\ z_{n-1}'=z_n \\ z_n' = G \left(x, z_1, z_2, \ldots, z_n \right) = G \left (x,\bold{z}\right )\! \end{cases} \qquad .$

Poniamo ora

$\bold{f} \left ( x, \bold{z} \right ) = \begin{bmatrix} z_2 \\ z_3 \\ \vdots \\ z_n \\ G \left (x,\bold{z}\right ) \end{bmatrix} ;$

otteniamo:

$\bold{z}' = \bold{f} \left ( x, \bold{z} \right ) ~ .\!$

[modifica] Problema di Cauchy

Per introdurre l'argomento è bene partire da un esempio. Partiamo prendendo un corpo puntiforme di massa m in caduta libera, sotto l'azione della forza di gravità. Attraverso le leggi descritte da Newton sulla dinamica dei corpi, sappiamo:

$\bold{F} = m \bold{a} = m \begin{bmatrix} x'' \\ y'' \\ z'' \end{bmatrix} \!$

Riferendoci ad un sistema di coordinate cartesiane con l'asse y parallelo e discorde al verso dell'accelerazione di gravità (quindi che punta verso l'alto, come si suole dire), proiettando la seconda legge di Newton sugli assi si ha che l'unica equazione significativa è quella rispetto all'asse y, per cui si ha:

$my'' =- mg\!$

ora, conoscendo che $y'' = -g \!$ , per determinare $\varphi = \varphi (x)\!$ , soluzione del problema, occorre conoscere posizione e velocità iniziale del corpo in un certo istante (condizioni iniziali). Integrando:

$\int_{t_0}^{t} y''(t)\,dt = -\int_{t_0}^{t} g\,dt\!$

$y'(t) = y'(t_0) -g (t-t_0)\!$

integrando nuovamente:

$\int_{t_0}^{t} y'(t)\,dt = \int_{t_0}^{t} \left( y'(t_0) -g (t-t_0) \right) \,dt\!$

$y(t) = y(t_0)+ y'(t_0) (t-t_0) - g \frac{(t-t_0)^2}{2}\!$

come si vede, la soluzione dipende da due parametri $y'(t_0)\!$ e $y(t_0)\!$ , cioè posizione e velocità iniziale.

Ma ora cerchiamo di rendere questo concetto (il problema di Cauchy) più generale e formale possibile, dandone una definizione rigorosa.

Definizione: Problema di Cauchy

Sia $\mathbf{f}(t, \mathbf{y}): I \times \Omega \to \R^n\!$ con:

$I\subseteq\R\!$ intervallo
$\Omega\ne\varnothing,\,\Omega\subseteq\R^n\!$ aperto

Allora si dice problema di Cauchy il seguente:

$\begin{cases} \mathbf{y'} = \mathbf{f}\left ( t, \mathbf{y} \right ) \\ \mathbf{y} \left ( t_0 \right ) = \mathbf{y_0} \qquad t_0 \in I,\, \mathbf{y_0} \in \Omega \end{cases}\!$

Quindi ora il problema sarà trovare una funzione $\boldsymbol{\varphi}(t)\!$ , soluzione del sistema, tale che $\boldsymbol{\varphi}(t_0) = \mathbf{y_0}\!$ .

[modifica] Teorema di Peano

Ora enunceremo un teorema fondamentale per lo studio di equazioni differenziali ordinarie, infatti sarà uno strumento estremamente potente per poterne fare sia un'analisi qualitativa, sia una quantitativa.

Teorema: Teorema di Peano

Sia $\mathbf{f}(t, \mathbf{y}): I \times \Omega \to \R^n\!$ continua con:

$I\subseteq\R\!$ intervallo aperto
$\Omega\ne\varnothing,\,\Omega\subseteq\R^n\!$ aperto

allora

$\exists\delta >0\!$ tale che $I_\delta = [t_0-\delta; t_0+\delta],\,I_\delta \subset I\!$
$\exists\boldsymbol{\varphi} : I_\delta \to \R^n \!$

tali che:

$\boldsymbol{\varphi} \in C^1 ( I_\delta , \R^n )\!$
$\left ( t, \boldsymbol{\varphi}\left ( t \right ) \right ) \in I\times\Omega\qquad\forall t\in I_\delta \!$
$\boldsymbol{\varphi'}\left ( t \right ) = \mathbf{f}\left ( t, \boldsymbol{\varphi} \left ( t \right ) \right )\qquad\forall t\in I_\delta \!$
$\boldsymbol{\varphi}\left ( t_0 \right ) = \mathbf{y_0}\!$

Attenzione: il teorema non garantisce l'unicità della soluzione, ma solo la sua esistenza locale, infatti se essa esiste, o è unica, o sono infinite. Per mostrare meglio questo fenomeno facciamo un esempio. Prendiamo questo problema di Cauchy:

$\begin{cases} y' = y^{\frac{1}{3}} \\ y(t_0) = 0 \end{cases}\!$

È evidente la validità del teorema appena esposto, ciò ci garantisce l'esistenza di almeno una soluzione $\varphi (t) \!$ . Una di queste è banale ed è anche globale, cioè definita su tutto l'insieme $\R\!$ :

$\varphi (t) = 0 \quad \forall t\in\R\!$

Ma oltre a questa soluzione è possibile trovarne un'altra, integrando l'equazione, visto che si tratta di un'equazione differenziale a variabili separabili; perciò:

$\frac{dy}{dt} = y^{\frac{1}{3}} \,\Longleftrightarrow\, y^{-\frac{1}{3}}\,dy = dt \,\Longleftrightarrow\, \int_0^y y^{-\frac{1}{3}}\,dy =\int_{t_0}^t\,dt \qquad y\ne 0\!$

dalla quale otteniamo:

$\varphi_\pm^0(t)= \pm \frac{2}{3} (t-t_0)^{\frac{3}{2}} \qquad t-t_0>0 \!$

Possiamo così costruire delle funzioni che conservano la continuità a partire dalle due soluzioni trovate:

$\psi^0_+ (t) = \begin{cases} \varphi^0_+(t) & t>t_0 \\ 0 & t\le t_o \end{cases}\!$

$\psi^0_- (t) = \begin{cases} \varphi^0_-(t) & t>t_0 \\ 0 & t\le t_o \end{cases}\!$

Che sono anch'esse soluzioni del problema definite sull'insieme $\R\!$ . Inoltre, fissato un $t_1>t_0\!$ e posto:

$\varphi_\pm^1(t)= \pm \frac{2}{3} (t-t_1)^{\frac{3}{2}} \qquad t-t_1>0 \!$

posso costruire nuove soluzioni a partire a questa:

$\psi^1_\pm (t) = \begin{cases} \varphi^1_\pm(t) & t>t_1 \\ 0 & t\le t_1 \end{cases}\!$

definite anch'esse su $\R\!$ , soluzioni dello stesso problema. Se ora rappresentiamo tutte queste soluzioni, otteniamo una figura detta Pennello di Peano. Ma la cosa sorprendente è che queste soluzioni sono un numero infinito (un infinito equipotente a $\R\!$ !). Questo fenomeno è detto anche fenomeno di Peano, per il quale un problema di Cauchy possiede:

una sola soluzione
infinite soluzioni

Questo è determinato dal fatto che la derivata $\frac{df}{dy}\!$ non è limitata nel punto $y=0\!$ : per far fronte a questo problema è utile introdurre un nuovo teorema, che verrà mostrato nella sezione successiva.

[modifica] Teorema di Cauchy - Lipschitz

Per approfondire, vedi la voce Teorema di esistenza e unicità per un problema di Cauchy.

Teorema: Teorema di Cauchy - Lipschitz

Sia $\mathbf{f}(t, \mathbf{y}): I \times \Omega \to \R^n\!$ con:

$I\subseteq\R\!$ intervallo aperto
$\Omega\ne\varnothing,\,\Omega\subseteq\R^n\!$ aperto

se $\mathbf{f}\!$ localmente lipschitziana e continua rispetto a $\mathbf{y}\!$ , uniformemente in $t\!$ , allora $\forall (t_0, \mathbf{y_0} ) \in I\times \Omega\!$ :

$\exists\delta >0\!$ tale che $I_\delta = [t_0-\delta; t_0+\delta],\,I_\delta \subset I\!$
$\exists ! \boldsymbol{\varphi} : I_\delta \to \R^n\!$

tali che:

$\boldsymbol{\varphi} \in C^1 (I_\delta , \R^n)\!$
$\left ( t, \boldsymbol{\varphi}\left ( t \right ) \right ) \in I\times\Omega\qquad\forall t\in I_\delta \!$
$\boldsymbol{\varphi'}\left ( t \right ) = \mathbf{f}\left ( t, \boldsymbol{\varphi} \left ( t \right ) \right )\qquad\forall t\in I_\delta \!$
$\boldsymbol{\varphi}\left ( t_0 \right ) = \mathbf{y_0}\!$

In questo caso, oltre all'esistenza, è garantita l'unicità. È evidente l'utilità del teorema.