Web Analytics Made Easy - Statcounter

[HOME PAGE] [STORES] [CLASSICISTRANIERI.COM] [FOTO] [YOUTUBE CHANNEL]

Teoria d'Iwasawa - Viquip??dia

Teoria d'Iwasawa

De Viquip??dia

En teoria de nombres, la teoria d'Iwasawa ??s una teoria de m??duls de Galois dels grups de classes d'ideals, iniciada els anys 50 per Kenkichi Iwasawa, com a part de la teoria de cossos ciclot??mics. A principis dels anys 70, Barry Mazur va considerar generalitzacions de la teoria d'Iwasawa a varietats abelianes. M??s recentment, cap als 90, Ralph Greenberg va proposar una teoria d'Iwasawa per a motius.

Taula de continguts

[edita] Formulaci??

L'observaci?? inicial d'Iwasawa fou que hi ha torres de cossos en teoria algebraica de nombres amb el grup de Galois isomorf al grup additiu de nombres p-??dics. Aquest grup, que generalment es denota amb la ??, a la teoria i amb notaci?? multiplicativa, es troba com a subgrup de grups de Galois d'extensions de cossos de grau infinit (que s??n, per la seva natura, grups pro-finits). El grup ?? ??s el l??mit invers dels grups additius \mathbf Z/p^n \mathbf Z , on p ??s un nombre primer fixat i n = 1,2, \dots . Moijan??ant la dualitat de Pontryagin es pot expressar d'una altra manera: ?? ??s dual del grup discret de totes les p-pot??ncies d'arrels de la unitat en els nombres complexos.

[edita] Exemple

Sigui ?? una p-arrel primitiva de la unitat i considerem la seg??ent torre de cossos de nombres:

K = \mathbf{Q} (\zeta) \subset K_{1} \subset K_{2} \subset \cdots \subset \mathbf{C},

on Kn ??s el cos generat per una pn + 1-arrel primitiva de la unitat. Aquesta torre de cossos t?? com a uni?? L. Aleshores el Grup de galois de L sobre K ??s isomorf a ??, ja que el grup de Galois de Kn sobre K ??s \mathbf Z/p^n \mathbf Z . Per tal d'obtenir un m??dul de Galois interessant, Iwasawa va prendre el grup de classes d'ideals de Kn i prengu?? In com la seva p-part de torsi??. Hi ha aplicacions de la norma I_m \rightarrow I_n quan m>n, i per tant un sistema invers. Si I ??s un l??mit invers, podem dir que ?? actua sobre I, i ??s desitjable tenir una descripci?? d'aquesta acci??.

La motivaci?? aqu?? fou indubtablement que la p-torsi?? d'un grup de classes d'ideals de K ja s'havia identificat anteriorment per Kummer com a l'obstacle principal d'una demostraci?? directa del darrer teorema de Fermat. L'originalitat d'Iwasawa fou d'anar a infinit en una direcci?? nova. De fet, I ??s un m??dul sobre el grup anell \mathbf Z_p [[\Gamma]] . Aquest ??s un anell amb un bon comportament (regular i de dimensi?? 2), la qual cosa significa que ??s for??a possible de classificar-hi m??dils d'una manera no excessivament dif??cil.

[edita] Hist??ria

Des dels seus inicis, cap els anys 50, s'ha constru??t una teoria s??lida. S'ha establert una connexi?? fonamental entre la teoria de m??duls i les funcions L p-??diques definides els anys 60 per Kubota i Leopold. La segona comen??a amb els nombres de Bernoulli i usa interpolaci?? per tal de definir an??legs p-??dics de la funci?? L de Dirichlet. Finalment semblava que podia desenvolupar-se la teoria que poc havia avan??at des dels resultats de Kummer de feia ja un segle sobre els primers regulars.

La conjectura fonamental de la teoria d'Iwasawa fou formulada afirmant que els dos m??todes de definir les funcions L p-??diques (per teoria de m??duls i per interpolaci??) haurien de coincidir sempre que estiguessin ben definides. La demostraci?? vingu?? de les mans de Barry Mazur i Andrew Wiles per ???, i per Andrew Wiles en el cas de cossos de nombres totalment reals. Aquestes demostracions es van construir basant-se en el model de la demostraci?? de Kenneth Ribet del convers del teorema de Herbrand (anomenat teorema de Herbrand-Ribet).

M??s recentment, tamb?? basant-se en les t??cniques de Ribet, Chris SKinner i Eric Urban han anunciat una demostraci?? de la conjectura fonamental per a GL(2). Es pot obtenir una demostraci?? m??s elemental del teorema de Mazur-Wiles usant sistemes d'Euler la com Kolyvagin desenvolup?? (vegeu el llibre de Washington). Altres autors com Karl Rubin han demostrat altres generalitzacions de la conjectura fonamental usant el m??tode dels sistemes d'Euler.

[edita] Refer??ncies

  • Greenberg, Ralph, Iwasawa Theory - Past & Present, Advanced Studies in Pure Math. 30 (2001), 335-385. Disponible aqu??.
  • Coates, J. i Sujatha, R., Cyclotomic Fields and Zeta Values, Springer-Verlag, 2006
  • Lang, S., Cyclotomic Fields, Springer-Verlag, 1978
  • Washington, L., Introduction to Cyclotomic Fields, 2a edici??, Springer-Verlag, 1997
  • Barry Mazur i Andrew Wiles (1984). ??Class Fields of Abelian Extensions of Q??. Inventiones Mathematicae 76 (2): 179-330.
  • Andrew Wiles (1990). ??The Iwasawa Conjecture for Totally Real Fields??. Annals of Mathematics 131 (3): 493-540.
  • Chris Skinner i Eric Urban (2002). ??Sur les deformations p-adiques des formes de Saito-Kurokawa??. C. R. Math. Acad. Sci. Paris 335 (7): 581-586.