Mètode d'elements finits
De Viquipèdia
El mètode d'elements finits o MEF és una tècnica per a resoldre numèricament equacions en derivades parcials (EDP's) amb l'ajuda d'una computadora. El sistema d'EDP's a resoldre és transformat en un sistema lineal d'equacions (normalment molt gran) en el cas de les equacions estacionàries o bé, en la resta de casos transitoris, en una equació diferencial ordinària (EDO) que normalment serà posteriorment resolta mitjançant algun mètode de diferències finites o MDF en el temps. Després d'una discretització en nodes i elements finits del domini de definició de la EDP, el MEF proporcionarà un valor aproximat de la solució real a cada node, i l'aproximació serà tant més bona com més densa sigui la malla.
Els principals avantatges del MEF respecte a altres mètodes de resolució d'EDP's com el ja esmentat mètode de diferències finites són els següents:
- Les malles poden ser no estructurades: la forma i mida dels elements finits pot ser qualsevol i pot variar en el mateix domini.
- Les condicions de contorn es poden imposar de forma sistemàtica (sense casuística).
Esquemàticament, el mètode d'elements finits consisteix en:
- Expressió de la EDP en la seva forma feble, separant els contorns de Dirichlet i de Neumann.
- Discretització del contorn en elements finits.
- Aproximació de les funcions com a interpolació de valors nodals amb funcions de forma, normalment n-lineals o n-quadràtiques.
- Tria de les funcions de test per a la verificació forma feble. El mètode de Galerkin consisteix en l'ús de les funcions de forma com a funcions de test a la forma feble.
- Obtenció del sistema lineal corresponent, de moment amb matriu no regular obtinguda a partir de l'assemblatge de les matrius corresponents a cada element.
- Imposició de les condicions de contorn (existeixen diversos mètodes per fer-ho).
En el procés de càlcul, el MEF precisa d'integrar numèricament unes determinades funcions polinòmiques i aquests valors s'obtenen mitjançant quadratures numèriques simples en cada element. El número de costats de cada element, juntament amb el número de punts de Gauss que s'empraran en la integració definiran el tipus d'element finit. Els més usuals en 1 dimensió ténen 2 o 3 nodes i 1, 2 o 3 punts de Gauss. En dues dimensions són quadrilàters Q1 (4 nodes, 4 punts de Gauss, funcions bilineals), Q2 (8 o 9 nodes, 9 punts de Gauss, funcions biquadràtiques) o bé triangles P1 (3 nodes, 1 punt de Gauss), P2 (6 nodes, 3 punts de Gauss) o P3 (10 nodes, 4 punts de Gauss). En tres dimensions els elements finits més usats són els tetraedres de 4 nodes, lineals, i els hexaedres de 8 nodes, trilineals.
L'algoritme pràctic pel càlcul per computadora de problemes estacionaris amb el MEF segueix els següents passos:
1. Definició de la geometria i de l'element de referència
2. Càlcul del sistema lineal d'equacions
- Bucle en elements
- Bucle en punts de Gauss
- Càlculs
- Assemblatge de la matriu del sistema lineal
- Bucle en punts de Gauss
3. Resolució del sistema lineal
4. Postprocés
