Icosà edre
De Viquipèdia
Un icosà edre o icosaedre (del grec eikosaedron) és un polÃedre de vint cares, encara que habitualment es fa referència a un "icosà edre regular", en el que cada cara és un triangle equilà ter. [Etimologia: Segle XVI: del grec eikosaedron, eikosi 'vint' + -edron -edre]
Taula de continguts[amaga] |
En geometria, l'icosà edre regular és un dels cinc sòlids platònics. És un polÃedre regular convex, format per 20 cares triangulars, que es troben en grups de cinc en cadascun dels dotze vèrtexs. Té 30 arestes. El seu polÃedre dual és el dodecà edre.
[edita] Dimensions
Si la longitud de l'aresta d'un icosà edre regular és a, el radi d'una esfera circumscrita (la que toca l'icosà edre en tots els seus vèrtexs) és
i el radi d'una esfera inscrita (tangent a cadascun de les cares de l'icosà edre) es
on τ (també anomenat φ) és la secció à uria.
[edita] Àrea i volum
L'area A i el volum V d'un icosà edre regular d'aresta de longitud a són:
[edita] Coordenades cartesianes
Les següents Coordenades cartesianes defineixen els vèrtexs d'un icosà edre amb vertex de llargada 2, centrat a l'origen:
- (0, ±1, ±φ)
- (±1, ±φ, 0)
- (±φ, 0, ±1)
on φ = (1+√5)/2 és la secció à uria (també escrita com τ). Observeu que aquests vèrtexs formen cinc conjunts de tres Rectangles auris mútuament ortogonals.
Les dotze arestes d'un octà edre poden ser dividides en secció à uria de manera que els vèrtexs resultants defineixin un icosà edre regular. Això es fa situant primer vectors en cadascuna de les arestes de l'octà edre de manera que cada cara estigui limitada per un cicle, i després dividint de manera similar cada aresta en secció à uria en la direcció del seu vector. Els cinc octà edres que defineixen un icosà edre donat formen el que s'anomena un composat polièdric regular.
[edita] Relacions geomètriques
Hi ha distorsions de l'icosà edre que, encara que ja no són regulars, sà són uniformes en quant als vèrtexs. Aquestes són invariants sota les mateixes rotacions que el tetrà edre, i són d'alguna manera anà logues al cub estirat (anglès: snub cube) i al dodecà edre estirat (anglès: snub dodecahedron).
L'icosà edre és únic entre els sòlids platònics en què poseeix un angle dièdric no inferior a 120º. AixÃ, al igual que els hexà gons no tenen angles inferiors a 120º i no es poden fer servir com a cares d'un polÃedre regular donat que una construcció tal no compliria el requeriment que al menys tres cares es trobin en un vèrtex deixant una resta superior a 0º per poder plegar-se en tres dimensions, els icosà edres no es poden fer servir com a cel·les d'un politop convex regular perquè, similarment, al menys tres cel·les s'haurien de trobar en una aresta i deixar una resta positiva per el plegat en quatre dimensions.
| PolÃedres regulars o platònics |
| Tetrà edre regular (4 cares) | Cub o hexà edre regular (6) | Octà edre regular (8) | Dodecà edre regular (12) | Icosà edre regular (20) |
