Icos??edre

De Viquip??dia

Icos??edre regular

Un icos??edre o icosaedre (del grec eikosaedron) ??s un pol??edre de vint cares, encara que habitualment es fa refer??ncia a un "icos??edre regular", en el que cada cara ??s un triangle equil??ter. [Etimologia: Segle XVI: del grec eikosaedron, eikosi 'vint' + -edron -edre]

En geometria, l'icos??edre regular ??s un dels cinc s??lids plat??nics. ??s un pol??edre regular convex, format per 20 cares triangulars, que es troben en grups de cinc en cadascun dels dotze v??rtexs. T?? 30 arestes. El seu pol??edre dual ??s el dodec??edre.

[edita] Dimensions

Si la longitud de l'aresta d'un icos??edre regular ??s $a$ , el radi d'una esfera circumscrita (la que toca l'icos??edre en tots els seus v??rtexs) ??s

$r_u = \frac{a}{2} \sqrt{\tau \sqrt{5}} = \frac{a}{4} \sqrt{10 +2\sqrt{5}} \approx 0.9510565163 \cdot a$

i el radi d'una esfera inscrita (tangent a cadascun de les cares de l'icos??edre) es

$r_i = \frac{\tau^2 a}{2 \sqrt{3}} = \frac{a}{12} \sqrt{3} \left(3+ \sqrt{5} \right) \approx 0.7557613141\cdot a$

on ?? (tamb?? anomenat ??) ??s la secci?? ??uria.

[edita] ??rea i volum

L'area A i el volum V d'un icos??edre regular d'aresta de longitud a s??n:

$A=5\sqrt3a^2$

$V=\begin{matrix}{5\over12}\end{matrix}(3+\sqrt5)a^3$

[edita] Coordenades cartesianes

Les seg??ents Coordenades cartesianes defineixen els v??rtexs d'un icos??edre amb vertex de llargada 2, centrat a l'origen:

(0, ??1, ????)

(??1, ????, 0)

(????, 0, ??1)

on ?? = (1+???5)/2 ??s la secci?? ??uria (tamb?? escrita com ??). Observeu que aquests v??rtexs formen cinc conjunts de tres Rectangles auris m??tuament ortogonals.

Les dotze arestes d'un oct??edre poden ser dividides en secci?? ??uria de manera que els v??rtexs resultants defineixin un icos??edre regular. Aix?? es fa situant primer vectors en cadascuna de les arestes de l'oct??edre de manera que cada cara estigui limitada per un cicle, i despr??s dividint de manera similar cada aresta en secci?? ??uria en la direcci?? del seu vector. Els cinc oct??edres que defineixen un icos??edre donat formen el que s'anomena un composat poli??dric regular.

[edita] Relacions geom??triques

Icos??edre com un tetr??edre estirat

Hi ha distorsions de l'icos??edre que, encara que ja no s??n regulars, s?? s??n uniformes en quant als v??rtexs. Aquestes s??n invariants sota les mateixes rotacions que el tetr??edre, i s??n d'alguna manera an??logues al cub estirat (angl??s: snub cube) i al dodec??edre estirat (angl??s: snub dodecahedron).

L'icos??edre ??s ??nic entre els s??lids plat??nics en qu?? poseeix un angle di??dric no inferior a 120??. Aix??, al igual que els hex??gons no tenen angles inferiors a 120?? i no es poden fer servir com a cares d'un pol??edre regular donat que una construcci?? tal no compliria el requeriment que al menys tres cares es trobin en un v??rtex deixant una resta superior a 0?? per poder plegar-se en tres dimensions, els icos??edres no es poden fer servir com a cel??les d'un politop convex regular perqu??, similarment, al menys tres cel??les s'haurien de trobar en una aresta i deixar una resta positiva per el plegat en quatre dimensions.

Pol??edres regulars o plat??nics

Tetr??edre regular (4 cares) | Cub o hex??edre regular (6) | Oct??edre regular (8) | Dodec??edre regular (12) | Icos??edre regular (20)