Icosàedre

De Viquipèdia

Icosàedre regular

Un icosàedre o icosaedre (del grec eikosaedron) és un políedre de vint cares, encara que habitualment es fa referència a un "icosàedre regular", en el que cada cara és un triangle equilàter. [Etimologia: Segle XVI: del grec eikosaedron, eikosi 'vint' + -edron -edre]

En geometria, l'icosàedre regular és un dels cinc sòlids platònics. És un políedre regular convex, format per 20 cares triangulars, que es troben en grups de cinc en cadascun dels dotze vèrtexs. Té 30 arestes. El seu políedre dual és el dodecàedre.

[edita] Dimensions

Si la longitud de l'aresta d'un icosàedre regular és $a$ , el radi d'una esfera circumscrita (la que toca l'icosàedre en tots els seus vèrtexs) és

$r_u = \frac{a}{2} \sqrt{\tau \sqrt{5}} = \frac{a}{4} \sqrt{10 +2\sqrt{5}} \approx 0.9510565163 \cdot a$

i el radi d'una esfera inscrita (tangent a cadascun de les cares de l'icosàedre) es

$r_i = \frac{\tau^2 a}{2 \sqrt{3}} = \frac{a}{12} \sqrt{3} \left(3+ \sqrt{5} \right) \approx 0.7557613141\cdot a$

on τ (també anomenat φ) és la secció àuria.

[edita] Àrea i volum

L'area A i el volum V d'un icosàedre regular d'aresta de longitud a són:

$A=5\sqrt3a^2$

$V=\begin{matrix}{5\over12}\end{matrix}(3+\sqrt5)a^3$

[edita] Coordenades cartesianes

Les següents Coordenades cartesianes defineixen els vèrtexs d'un icosàedre amb vertex de llargada 2, centrat a l'origen:

(0, ±1, ±φ)

(±1, ±φ, 0)

(±φ, 0, ±1)

on φ = (1+√5)/2 és la secció àuria (també escrita com τ). Observeu que aquests vèrtexs formen cinc conjunts de tres Rectangles auris mútuament ortogonals.

Les dotze arestes d'un octàedre poden ser dividides en secció àuria de manera que els vèrtexs resultants defineixin un icosàedre regular. Això es fa situant primer vectors en cadascuna de les arestes de l'octàedre de manera que cada cara estigui limitada per un cicle, i després dividint de manera similar cada aresta en secció àuria en la direcció del seu vector. Els cinc octàedres que defineixen un icosàedre donat formen el que s'anomena un composat polièdric regular.

[edita] Relacions geomètriques

Icosàedre com un tetràedre estirat

Hi ha distorsions de l'icosàedre que, encara que ja no són regulars, sí són uniformes en quant als vèrtexs. Aquestes són invariants sota les mateixes rotacions que el tetràedre, i són d'alguna manera anàlogues al cub estirat (anglès: snub cube) i al dodecàedre estirat (anglès: snub dodecahedron).

L'icosàedre és únic entre els sòlids platònics en què poseeix un angle dièdric no inferior a 120º. Així, al igual que els hexàgons no tenen angles inferiors a 120º i no es poden fer servir com a cares d'un políedre regular donat que una construcció tal no compliria el requeriment que al menys tres cares es trobin en un vèrtex deixant una resta superior a 0º per poder plegar-se en tres dimensions, els icosàedres no es poden fer servir com a cel·les d'un politop convex regular perquè, similarment, al menys tres cel·les s'haurien de trobar en una aresta i deixar una resta positiva per el plegat en quatre dimensions.

Políedres regulars o platònics

Tetràedre regular (4 cares) | Cub o hexàedre regular (6) | Octàedre regular (8) | Dodecàedre regular (12) | Icosàedre regular (20)