Secci?? ??uria

De Viquip??dia

Sistema de nombres en matem??tiques

Conjunts de nombres

??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ???

Naturals ???
Negatius
Enters ???
Racionals ???
Irracionals
Reals ???
Complexos ???

Nombres destacables

?? ??? 3,14159265...
e ??? 2,7182818284...
?? ??? 1,6180339887...
i := $\sqrt{-1}$

Nombres amb propietats destacables

Primers $\mathbb{P}$ , Abundants, Amics, Compostos, Defectius, Perfectes, Sociables, Algebraics, Transcendents

Extensions dels
nombres complexos

Bicomplexos
Hipercomplexos
Quaternions $\mathbb{H}$
Octonions $\mathbb{O}$
Setenions
Super-reals
Hiper-reals
Sub-reals

Nombres Especials

Nominals
Ordinals {1r, 2n, ...} (d'ordre)
Cardinals $\{\aleph_1, \aleph_2, \aleph_3,...\}$
Infinit $\infty$
Nombres infinits
Nombres transfinits

Altres nombres importants

Seq????ncia d'enters
Constants matem??tiques
Llistat de nombres
Nombres grans

Sistemes de numeraci??

??rab, Armeni, ??tica (grega), Babil??nica, Xinesa, Cir??l??lica, Eg??pcia, Etrusca, Grega, Hebrea, ??ndia, J??nica (grega), Japonesa, J??mer, Maia, Romana, Tailandesa

Numerals en base constant:

Segment dividit en dos segments a i b de forma ??uria: El segment sencer ??s al segment a com el segment a ??s al segment b

La ra?? ??uria, secci?? ??uria o divina proporci?? ??s la relaci?? que guarden dos segments a i b (o per extensi??, la que guarden dues quantitats a i b) si entre el total i el segment major hi ha la mateixa relaci?? que entre el segment major i el segment menor, o, en altres paraules, si el tot ??s al segment major igual que el major ??s al segment menor. Anomenant a al segment (o nombre) major i b al menor, la formulaci?? matem??tica de la definici?? es pot escriure com:

$\frac{a+b}{a} = \frac{a}{b}$

El quocient d'aquestes dues quantitats resulta ser un n??mero irracional conegut com a nombre auri o nombre d'or, i designat habitualment per la lletra grega ?? o ?? (fi) en honor a F??dies, escultor i arquitecte grec del Parten??, o menys freq??entment amb ?? (tau):

$\Phi = \frac{a}{b} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = 1,618 033 \dots$

Les formes definides amb la ra?? ??uria han molt sovint considerades est??ticament agradables en la cultura d'occident, de manera que la proporci?? divina s'ha usat freq??entment al llarg de la Hist??ria en l'art i el disseny. ??bviament, tamb?? s'ha usat la inversa de la ra?? ??uria ??^-1. A vegades s'utilitza la fi min??scula (??) per aquest valor quan s'utilitza la maj??scula per l'anterior.

$\phi=\frac{1}{\Phi} = \frac{b}{a} = - \frac{1 - \sqrt{5}}{2} = 0,618 033 \dots$

Per?? la ra?? ??uria tamb?? ??s possible trobar-la en la natura. El nombre d'or posseeix a m??s moltes propietats curioses i interessants que han fet que la ra?? ??uria hagi esdevingut fascinant per a molts estudiosos.

Taula de continguts

1 Definicions i primeres propietats del nombre d'or
2 Or??gens
3 Raons ??uries en geometria
4 El nombre d'or
- 4.1 Propietats
5 La ra?? ??uria en les arts
6 El nombre d'or en la natura
7 Enlla??os externs

[edita] Definicions i primeres propietats del nombre d'or

Com s'ha definit en l'encap??alament, dues quantitats a i b (amb a > b) estan en ra?? ??uria si la seva suma ??s a la quantitat major igual que la major ??s a la quantitat menor, i.e.:

$\frac{a+b}{a} = \frac{a}{b}$

Equivalentment (per veure l'equival??ncia nom??s cal multiplicar en creu i reordenar), dues quantitats a i b estan en ra?? ??uria si entre la major i la menor hi ha la mateixa proporci?? que entre la menor i la seva difer??ncia, i.e.:

$\frac{a}{b} = \frac{b}{a-b}$

De la primera equaci?? (o tamb?? des de la segona), operant s'arriba a la seg??ent equaci??: $a^2-a \cdot b-b^2 = 0$ , d'on s'obt??:

$a=\frac{b \pm \sqrt{b^2+4b^2}}{2} = b \cdot \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

On l'??ltima igualtat s'efectua traient factor com?? de b. Finalment, si es divideix a banda i banda per b (que no ??s nul), s'obtenen els dos seg??ents valors per a $\frac{a}{b}$ :

${1+\sqrt{5} \over 2} \approx\ 1.618034,\ \mathrm{i}\ {1-\sqrt{5} \over 2} \approx\ -0.618034.$

El nombre d'or $\Phi = \frac{a}{b}$ nom??s ??s el valor positiu ja que no t?? sentit de parlar d'una quantitat negativa per a la ra?? entre dos segments.

Les primeres propietats del nombre d'or s??n dues:

El nombre d'or ??s l'??nic real positiu que est?? exactament una unitat per sota del seu quadrat.

Demostraci??: Multiplicant la primera equaci?? d'aquesta secci?? per a/b (o b?? per (a-b)/b la segona) s'obt??:

$\left(\frac{a}{b}\right)^2 = \frac{a}{b} + 1$ , o b??, fent la substituci?? $\frac{a}{b} = \Phi$

$\Phi^2 = \Phi + 1 \,$ , Q.E.D.

El nombre d'or ??s l'??nic real positiu que est?? una unitat per sobre del seu invers.

Demostraci??: Com que ?? ??s diferent de zero, es pot dividir l'equaci?? anterior per ??, de manera que

$\Phi = \frac{1}{\Phi} + 1 = \phi +1$ , Q.E.D.

[edita] Or??gens

Raons molt properes a l'??uria s'han trobat en les posicions i proporcions de les pir??mides de Giza, aix?? que sembla ser que els primers que usaren la ra?? ??uria foren els antics egipcis. El que no est?? tan clar ??s si les usaven conscientment per a unes suposades qualitats est??tiques de la ra?? o si la seva primera aparici?? ??s fruit d'altres raons o l'atzar.

En l'antiga Gr??cia es coneixien b?? algunes propietats geom??triques de la ra?? ??uria, per la seva freq??ent aparici?? en geometria; tanmateix, no sembla cert per?? que en valoressin la seva vessant est??tica. Malgrat tot, en molts monuments, com en el Parten??, hom pot trobar-hi proporcions divines o molt pr??ximes a ella. No s'ha provat que aquestes relacions fossin expressament cercades, per?? molta gent creu que no pot ser ??nicament una q??esti?? d'atzar.

En l'arquitectura romana tamb?? s'hi poden trobar raons ??uries, per?? tampoc no s'ha provat que fossin expressament emprades en els dissenys.

[edita] Raons ??uries en geometria

[edita] Secci?? ??uria d'un segment

Secci?? ??uria del segment AB: S divideix AB de forma ??uria, AS ??s el segment auri d'AB

Donat un segment AB, es diu que el punt S constitueix secci?? ??uria del segment AB (o el divideix de forma ??uria) si la part m??s gran ??s mitjana proporcional (o geom??trica) entre el segment AB i la part petita. Si la part petita ??s SB, com en la figura, matem??ticament aix?? ??s

$\overline{AS}^2 = \overline{AB} \cdot \overline{SB}$

Equivalentment aix?? passa quan el segment sencer ??s a la part gran com la part gran ??s a la petita, i.e.

$\frac{\overline{AB}}{\overline{AS}} = \frac{\overline{AS}}{\overline{SB}}$

L'equival??ncia entre les definicions es veu per exemple multiplicant en creu la segona expressi??.

Tamb?? es veu l'equival??ncia entre aquestes definicions i la de cap??alera: en efecte, si AS mesura a i SB t?? una mesura b (i llavors AB t?? una mesura a + b) i tot plegat se substitueix en la segona expressi??, s'obt??

$\frac{a+b}{a} = \frac{a}{b}$

La secci?? ??uria del segment en una part gran i una de petita t?? a m??s la propietat seg??ent:

La part petita ??s segment auri de la part gran, i.e.

$\frac{\overline{AS}}{\overline{SB}} = \frac{\overline{SB}}{\overline{AS}-\overline{SB}}$ o b?? $\overline{SB}^2 = \overline{AS} \cdot (\overline{AS}-\overline{SB})$

Demostraci??: si $\overline{AS}^2 = \overline{AB} \cdot \overline{SB}$ (per ser AS el segment auri de AB), restant $\overline{AS} \cdot \overline{SB}$ a banda i banda s'obt?? que

$\overline{AS}^2 - \overline{AS} \cdot \overline{SB} = \overline{AB} \cdot \overline{SB} - \overline{AS} \cdot \overline{SB}$

Traient factor com??, i tenint en compte que $(\overline{AB}-\overline{AS})=\overline{SB}$

$\overline{AB} \cdot \overline{SB} - \overline{AS} \cdot \overline{SB} = (\overline{AB} - \overline{AS}) \cdot \overline{SB} = \overline{SB} \cdot \overline{SB} = \overline{SB}^2$ .

Llavors, $\overline{AS} \cdot (\overline{AS}-\overline{SB}) = \overline{SB}^2$ , Q.E.D.

[edita] Construcci?? de raons ??uries amb regle i comp??s

Divisi?? ??uria d'un segment donat. Una de les construccions m??s senzilles ??s la seg??ent:

Divisi?? de forma ??uria d'un segment AB donat

1. Traceu BC, perpendicular a AB per B i de longitud la meitat de AB.
2. Amb centre a C, transporteu la dist??ncia CB sobre la hipotenusa CA. S'obt?? aix?? el punt D.
3. Amb centre a A, transporteu la dist??ncia AD sobre el segment AB. La intersecci?? d'aquest arc amb el segment AB defineix el punt S buscat, que constitueix secci?? ??uria d'AB.

Construcci?? del segment tal que el seu segment auri ??s el donat. Aquesta ??s una de les construccions m??s famoses amb la ra?? ??uria:

Construcci?? del segment AB a partir del seu segment auri AS.

1. Traceu SC, perpendicular a AS per S i de longitud igual a AS.
2. Trobeu el punt mig M del segment AS (per exemple amb la mediatriu).
3. Amb centre a M, traceu l'arc amb radi MC. La intersecci?? B d'aquest arc amb la recta suport de AS defineix el segment cercat AB, el segment auri del qual ??s AS.

[edita] Triangle d'or

Els triangles d'or s??n aquells triangles is??sceles els costats dels quals estan en ra?? ??uria. N'hi ha de dos tipus: els que $\frac{\mbox{costat igual}}{\mbox{costat desigual}} = \Phi$ , que s??n acutangles i els que $\frac{\mbox{costat desigual}}{\mbox{costat igual}} = \Phi$ , que s??n obtusangles. Aquests ??ltims sovint s??n tamb?? anomenats triangles d'argent, per?? no tenen res a veure amb el nombre d'argent (que no t?? res a veure amb ??, l'invers de ??).

Triangles d'or

Els triangles d'or tenen dos angles de 72?? i un de 36??; els triangles d'argent tenen dos angles de 36?? i un de 108??. Aquests s??n els mateixos angles que apareixen tamb?? en el pent??gon regular i el pentacle, on no ??s sorprenent de retrobar els triangles d'or i la ra?? ??uria.

Demostraci??: En la figura de l'esquerra, es pot veure com el triangle ABD ??s semblant al triangle BCA ja que els dos s??n is??sceles i tenen un angle en com??. Aix??, els angles ABD i ACB s??n iguals. La ra?? de semblan??a ??s, per construcci?? dels triangles 1/??. Llavors, el segment AD mesura 1/??.

Com que el nombre d'or verifica la igualtat

$\Phi = 1 + \frac{1}{\Phi}$ ,

el segment DC mesura 1, de manera que el triangle BCD ??s is??sceles i els angles DCB i DBC s??n iguals. Per tant, com que DCB i ACB s??n iguals, ABD i DBC s??n iguals i DB marca la bisectriu de l'angle ABC. At??s que la suma dels angles d'un triangle val 180??, els valors dels angles ??s de 36?? pels m??s aguts (la cinquena part d'un angle pla) i de 72?? pels m??s oberts, (dues cinquenes parts de l'angle pla o una cinquena part d'un angle complet).

[edita] Rectangle d'or

Rectangles d'or

Els rectangles d'or s??n aquells rectangles els costats dels quals guarden ra?? ??uria.

La construcci?? d'un rectangle d'or amb comp??s es pot fer f??cilment a partir d'un quadrat mitjan??ant la segona construcci?? de l'apartat corresponent. Punxant al centre d'un dels costats i obrint fins a un dels dos angles oposats, nom??s cal baixar l'arc fins a la prolongaci?? del costat on s'ha punxat. Una de les propietats dels rectangles d'or ??s que el rectangle resultant de l'eliminaci?? del quadrat de costat b que el pot generar (vegeu la figura), tamb?? ??s d'or. Aquesta propietat ??s deguda a que la ra?? ??uria compleix la propietat seg??ent, ja vista en apartats anteriors:

$\frac{b}{a-b} = \frac{a}{b} = \Phi$ .

[edita] El pent??gon i el pentalfa regulars

Pentacle en pent??gon regular

El pent??gon regular i les seves diagonals, que formen un pentalfa (o pentacle) amaguen unes quantes propietats relacionades amb la ra?? ??uria. Alguns creuen que aquest podria ser un dels motius pels quals aquest s??mbol va ser l'escollit per Pit??gores per a la germandat que cre?? i presid??: els pitag??rics.

Per tractar-se de pent??gons regulars, s'identifiquen deu angles de 108??, cinc en el pent??gon exterior i cinc m??s en el format en l'interior. A partir d'aquests deu angles s'en poden trobar cinc m??s tamb?? de 108?? (per angles oposats pel v??rtex) i deu angles de 72?? (per angles suplementaris. D'aquesta manera, s'identifiquen cinc triangles d'or, que s??n els que formen les puntes del pentacle. Tamb?? s'hi identifiquen quinze triangles d'argent (de dues mides diferents). Nomb??s hi ha doncs tres tipus d'angles: de 36??, 72?? (el doble de 36??) i 108?? (el triple).

Pentalfa il??lustrant les raons ??uries que s'hi amaguen

Pel qu?? fa a longitud de segments, s'observa que nom??s n'hi ha de quatre longituds diferents, per?? totes en relaci?? ??uria amb alguna altra:

$\Phi = \frac{\mbox{vermell}}{\mbox{blau}} = \frac{\mbox{blau}}{\mbox{verd}} = \frac{\mbox{verd}}{\mbox{lila}}$

Demostraci?? Per a demostrar cadascuna d'aquestes relacions, nom??s cal trobar un triangle d'or o d'argent format per costats amb les longituds corresponents. Els triangles s??n efectivament d'or o d'argent perqu?? ho corroboren els seus angles i la relaci?? ??s ??uria per definici?? de triangle d'or o d'argent.

[edita] Espirals d'or

Hom pot construir, a partir d'una successi?? de rectangles d'or i quadrats (vegeu la figura), una espiral tot tra??ant quarts de circumfer??ncia dins cada quadrat i tangents a ell. Aquesta espiral s'aproxima a l'espiral d'or, una espiral logar??tmica de centre la intersecci?? de les dues diagonals indicades en la figura i d'equaci?? polar:

$r (\theta) = r \cdot \Phi^{-\frac{\theta}{\pi \, / \, 2}}$

Espiral d'or aproximada mijtan??ant arcs de circumfer??ncia en una successi?? de quadrats-rectangles d'or

Espiral d'or aproximada (verda) i vertadera (vermella) (el groc apareix all?? on es trepitgen ambdues corbes)

Espiral d'or aproximada mitjan??ant arcs de circumfer??ncia dins d'una successi?? de triangles d'or

De la mateixa manera, es pot construir, a partir d'una successi?? de triangles d'or, una espiral aproximada a la vertadera d'or triangular, tamb?? espiral logar??tmica per?? ara d'equaci?? polar:

$r (\theta) = r \cdot \Phi^{\frac{\theta}{3 \, \pi \, / \, 5}}$

[edita] Angle d'or

Angle d'or ??

S'anomena angle d'or aquell angle obtingut mitjan??ant la partici?? d'un cercle (la circumfer??ncia del qual t?? una longitud c) en dos sectors circulars, el m??s gran amb un arc de longitud a i el menor, amb un arc de longitud b, de manera que

$\frac{c}{a}=\frac{a}{b}$

i prenent com a bo l'angle petit (el de longitud d'arc b).

Com que es tracta d'una partici?? del cercle, tamb?? es t?? que $c=a+b \,$ , i per tant, $\frac{a+b}{a}=\frac{a}{b}$ (vegeu el paral??lelisme amb la secci?? ??uria d'un segment).

L'angle d'or mesura $\Psi = \frac {360^{\circ}}{\Phi^2} \approx 137.51^{\circ}$ , o b?? en radians, $\Psi = \frac {2 \pi}{\Phi^2} \approx 2.4000 \mbox{ rad}$ .

Demostraci??: De l'equaci?? $\frac{c}{a}=\frac{a}{b}$ , operant s'arriba a l'equaci?? $a^2-a \cdot b-b^2 = 0$ , d'on, resolent, s'obt??:

$a=\frac{b \pm \sqrt{b^2+4b^2}}{2} = b \cdot \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

D'aqu??, s'obtenen els dos seg??ents valors per a $\frac{a}{b}$ :

${1+\sqrt{5} \over 2} = \Phi \ \mathrm{i}\ {1-\sqrt{5} \over 2} = - \phi$

Com que tant a com b s??n positius, es t?? que $\frac{a}{b} = \Phi$ o que $a = \Phi \cdot b$ . Substituint-ho en $c=a+b \,$ , i reordenant s'obt?? que:

$\frac{b}{c} = \frac{1}{\Phi+1} = \frac{1}{\Phi^2}$ , d'on s'obt?? la mesura angular de l'angle: $\Psi = \frac {360^{\circ}}{\Phi^2}$ o $\Psi = \frac{2 \pi}{\Phi^2}$ .

[edita] El nombre d'or

[edita] Propietats

Puix que ?? resulta de la soluci?? d'una equaci?? polin??mica, forma part del conjunt dels nombres alg??brics. Pot ??sser demostrat tamb?? que ?? ??s un nombre irracional o incommensurable.

$\Phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = 1,618 033 \dots$ (vegeu les primeres 20000 xifres decimals del nombre d'or)

Algunes expressions amb les pot??ncies de ??:

$\Phi^2 = \Phi + 1 \$
$\Phi^3 = \frac{\Phi + 1}{\Phi - 1}$
$\Phi^{-1} = \Phi - 1 \$
$\Phi^{-2} = 2 - \Phi \$

Les pot??ncies de ?? tamb?? compleixen la seg??ent propietat:

$\forall n\in\mathbb{N}, \quad \Phi^n = \Phi^{n-1} + \Phi^{n-2}$

Demostraci??: La propietat anterior pot obtenir-se $\forall n\in\mathbb{N}$ de multiplicar la igualtat $\Phi^2 = 1 + \Phi \,$ per $\Phi^{n-2} \,$ .

Aix??, les pot??ncies naturals del nombre d'or compleixen la relaci?? de recurr??ncia de Fibonacci,

$\forall n\in\mathbb{N}, \quad F_{n+1} = F_n + F_{n-1}\,$

Gr??cies a aquesta propietat, es poden tamb?? escriure expressions on s'observa la successi?? de Fibonacci:

$\Phi^{-2} = - \Phi + 2 \,$ ,

$\Phi^{-1} = \Phi - 1 \,$ ,

$\Phi^0 = 1 \,$ ,

$\Phi^1 = 1 \Phi \,$ ,

$\Phi^2 = 1 \Phi + 1 \,$ ,

$\Phi^3 = 2 \Phi + 1 \,$ ,

$\Phi^4 = 3 \Phi + 2 \,$ ,

$\Phi^5 = 5 \Phi + 3 \,$ ,

$\Phi^6 = 8 \Phi + 5 \,$ ,

$\Phi^n = F_n \Phi + F_{n-1} \,$ ,

$\dots \,$ ,

Una altra propietat sorprenent relacionada amb la recurr??ncia de Fibonacci ??s que el quocient entre termes consecutius d'una successi?? definida amb aquesta recurr??ncia, entre aquestes, la successi?? de Fibonacci, tendeix al nombre d'or. En efecte, si $(F_n)_{n\in\mathbb{N}}$ ??s una successi?? tal que $\forall n\in\mathbb{N}, \quad F_{n+1} = F_n + F_{n-1}\,$ , llavors:

$\lim_{n\to\infty}\frac{F_{n+1}}{F_n}=\Phi$

Demostraci??: plantejant el l??mit,

$x=\lim_{n\to\infty}\frac{F_{n+1}}{F_n}$

$=\lim_{n\to\infty}\frac{F(n)+F_{n-1}}{F_n}$

$=1+\lim_{n\to\infty}\frac{F_{n-1}}{F_n}$

$=1+\frac1{\lim_{n\to\infty}\frac{F_n}{F_{n-1}}}$

$=1+\frac1x$

De $x=1+\frac1x$ , multiplicant per x, s'arriba a:

$x^2=x+1\,$ , una equaci?? quadr??tica ja coneguda amb arrels $\Phi\,$ i $1-\Phi = - \phi \,$ . La primera arrel $x = \Phi\,$ ??s la corresponent a la part creixent de la successi??, Q.E.D. La segona, ??s la corresponent a una hipot??tica successi?? endarrera (cercant el l??mit $x=\lim_{n\to -\infty}$ .

Com que $\Phi = 1 + \frac{1}{\Phi} \,$ , es pot representar ?? en forma de fracci?? cont??nua:

$\Phi = 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + ...}}}}$

Com que $\Phi^2 = 1 + \Phi \,$ , ?? es pot representar tamb?? amb una iteraci?? infinita d'arrels quadrades:

$\Phi = \sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\cdots}}}}$

El nombre d'or presenta tamb?? propietats interessants si s'utilitza com a base d'un sistema de nombres (vegeu base d'or).

En trigonometria, el nombre d'or est?? molt relacionat amb els angles que apareixen en un pentacle: (36??, 72?? i 108??) i amb les seves meitats: 18?? i 54??:

$\Phi=2\cos 36^\circ \,$

$\Phi=\frac{\sin 108^\circ}{\sin 36^\circ } \,$

$\Phi=2\sin 18^\circ + 1\,$

$\Phi=2\sin 54^\circ \,$

La demostraci?? ??s a l'article Constants trigonom??triques exactes, angle de 36??.

El nombre d'or tamb?? apareix en expressions com

$\Phi = e^{\operatorname{arcsinh} \frac{1}{2}}$

[edita] La ra?? ??uria en les arts

El Vitruvi, de Leonardo da Vinci.

En 1509, Luca Pacioli public?? Divina Proportione, on tractava no nom??s amb les curiositats matem??tiques del nombre d'or, sin?? tamb?? amb el seu ??s en l'arquitectura. Aix?? va propiciar l'acceptaci?? de la idea que molts artistes del Renaixement, introdu??en la ra?? ??uria en els seus dissenys. Un bon exemple d'aquests mites ??s en les pintures de Leonardo Da Vinci, on, de la mateixa manera que en el Parten??, hom pot trobar-hi relacions ??uries tot i que no hi ha proves fefaents que confirmin que fossin introdu??des expressament pel mateix autor.

Ja en el segle XX, l'arquitecte su??s Le Corbusier va publicar Le Modulor, on tractava, entre d'altres amb la ra?? ??uria en l'arquitectura i sobretot en l'urbanisme.

La ra?? ??uria ha estat usada en construccions m??s recents com en escales, edificis i d'altres, com per exemple en la mida est??ndard de carnets i targetes de cr??dit que s'aproximen a rectangles d'or. Potser l'edifici m??s emblem??tic ??s la seu de l'ONU a Nova York, un gran prisma amb una de les seves cares en forma de rectangle d'or.

La ra?? ??uria tamb?? ha estat usada tamb?? en m??sica, tant per la durada de les notes (per exemple pel compositor hongar??s B??la Bart??k i el franc??s Olivier Messiaen), com per l'organitzaci?? de les parts d'una pe??a (per exemple en alguna obra del compositor mexic?? Silvestre Revueltas) o fins i tot en la relaci?? entre les freq????ncies de noves notes fora de les escales crom??tiques (per exemple en For Ann (rising), de James Tenney).

Hi ha gent que creu que la ra?? ??uria t?? propietats est??tiques particulars. D'altres argumenten que qualsevol proporci?? compresa entre 1,4 i 1,8 en t??.

[edita] El nombre d'or en la natura

Raons aproximadament d'or poden trobar-se en la ramificaci?? de determinades plantes o en la disposici?? dels p??tals de les d??lies i altres flors. Tamb?? es poden trobar espirals i angles d'or en les pinyes d'un pi. Aquestes relacions podrien explicar-se mitjan??ant la pres??ncia de la Successi?? de Fibonacci en aquests fen??mens, per?? aix?? ??s un tema debatut.

Per altra banda, una bona aproximaci?? de l'espiral d'or pot trobar-se en la closca del nautilus o dels cargols de mar, per?? aix?? no es pot explicar cient??ficament.

[edita] Enlla??os externs

A Wikimedia Commons hi ha contingut multim??dia relatiu a:
Secci?? ??uria

La secci?? ??uria: fi. (angl??s)
Fi, la secci?? ??uria. (angl??s)
La secci?? ??uria. (angl??s)
Les primeres 20000 xifres decimals del nombre d'or. (angl??s)
Fi: la proporci?? divina. (angl??s)
Fibonacci and the Golden Mean V??deo on s'explica, de forma visual, la relaci?? entre la successi?? de Fibonacci i el nombre d'or, a m??s d'altres propietats. (angl??s)

Categories: Constants matem??tiques | Geometria

Categoria oculta: Viquip??dia:Articles destacats en alemany

Secci?? ??uria

De Viquip??dia

Taula de continguts

[edita] Definicions i primeres propietats del nombre d'or

[edita] Or??gens

[edita] Raons ??uries en geometria

[edita] Secci?? ??uria d'un segment

[edita] Construcci?? de raons ??uries amb regle i comp??s

[edita] Triangle d'or

[edita] Rectangle d'or

[edita] El pent??gon i el pentalfa regulars

[edita] Espirals d'or

[edita] Angle d'or

[edita] El nombre d'or

[edita] Propietats

[edita] La ra?? ??uria en les arts

[edita] El nombre d'or en la natura

[edita] Enlla??os externs

Views

Navegaci??

comunitat

Cerca

En altres lleng??es