Funció d'una variable complexa diferenciable en sentit real

De Viquipèdia

Aquest article serveix d'introducció a l'article sobre les equacions de Cauchy-Riemann. S'hi defineix les derivades parcials (respecte a $\ x, y$ o $\ z, \bar{z}$ ) i la diferenciabilitat en sentit real de les funcions (de valor complex) d'una variable complexa.

Considerem aquí una funció $\ f : U \to \mathbb{{C}}$ d'una variable complexa, definida en un obert U de $\mathbb{{C}}$ . Emprem les notacions següents :

la variable complexa $\ z$ es nota per $\ x + i\, y$ , on x, y són reals
les parts real i imaginària de $\ f(z) = f(x + i\, y)$ es noten respectivament per $\ P(x, y)$ i $\ Q(x, y)$ , es a dir : $\ f(z) = P(x, y) + i\, Q(x, y)$ , on $\ P,\, Q$ són dues funcions reals de dues variables reals.

Taula de continguts

1 Derivades parcials d'una funció d'una variable complexa
- 1.1 Derivades parcials respecte a x i y
- 1.2 Derivades parcials respecte a i
2 Diferenciabilitat en sentit real de les funcions d'una variable complexa

[edita] Derivades parcials d'una funció d'una variable complexa

[edita] Derivades parcials respecte a x i y

Definició : sigui $\ z_0 = x_0 + i\, y_0 \in U$ , on $\ x_0,\, y_0$ són reals.

diem que f té derivada parcial (primera) al punt $\ z_0$ respecte a la variable x, notada per $\frac{\partial f}{\partial x}(z_0)$ si existeix el límit (finit) $\frac{\partial f}{\partial x}(z_0) = \lim_{u \to 0,\, u\, \in\, \mathbb{{R}}^*} \frac{f(z_0+u) - f(z_0)}{u}$
diem que f té derivada parcial (primera) al punt $\ z_0$ respecte a la variable y, notada per $\frac{\partial f}{\partial y}(z_0)$ si existeix el límit (finit) $\frac{\partial f}{\partial y}(z_0) = \lim_{v \to 0,\, v\, \in\, \mathbb{{R}}^*} \frac{f(z_0+i\, v) - f(z_0)}{v}$

Propietat :

la derivada parcial $\frac{\partial f}{\partial x}(z_0)$ existeix si i només si les derivades parcials $\frac{\partial P}{\partial x}(x_0, y_0)$ , $\frac{\partial Q}{\partial x}(x_0, y_0)$ existeixen, i aleshores $\frac{\partial f}{\partial x}(z_0) = \frac{\partial P}{\partial x}(x_0, y_0) + i\, \frac{\partial Q}{\partial x}(x_0, y_0)$
la derivada parcial $\frac{\partial f}{\partial y}(z_0)$ existeix si i només si les derivades parcials $\frac{\partial P}{\partial y}(x_0, y_0)$ , $\frac{\partial Q}{\partial y}(x_0, y_0)$ existeixen, i aleshores $\frac{\partial f}{\partial y}(z_0) = \frac{\partial P}{\partial y}(x_0, y_0) + i\, \frac{\partial Q}{\partial y}(x_0, y_0)$

Derivades parcials d'ordre superior :

si, per exemple, $\frac{\partial f}{\partial x}(z_0)$ existeix en tot punt $\ z_0 \in U$ , es defineix la funció $\frac{\partial f}{\partial x} : U \to \mathbb{{C}},\, z \mapsto \frac{\partial f}{\partial x}(z)$
si, a més a més, la funció $\frac{\partial f}{\partial x}$ té derivada parcial primera al punt $\ z_0$ respecte a la variable x, la notem per $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(z_0)$ : $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(z_0)= \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)(z_0)$ . Semblantment, si existeix $\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)(z_0)$ , la notem per $\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}(z_0)$ , etc.

[edita] Derivades parcials respecte a $\ z$ i $\ \bar{z}$

Definició : suposem que f tingui derivades parcials primeres respecte a x i y al punt $\ z_0$ . Aleshores, definim :

$\frac{\partial f}{\partial z}(z_0) = \frac{1}{2}\, \left(\frac{\partial f}{\partial x}(z_0) - i\, \frac{\partial f}{\partial y}(z_0)\right)$
$\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}(z_0) = \frac{1}{2}\, \left(\frac{\partial f}{\partial x}(z_0) + i\, \frac{\partial f}{\partial y}(z_0)\right)$

Propietat : en conservar les hipòtesis precedents

$\frac{\partial f}{\partial x}(z_0) = \frac{\partial f}{\partial z}(z_0) + \frac{\partial f}{\partial \bar{z}}(z_0)$
$\frac{\partial f}{\partial y}(z_0) = i\, \left(\frac{\partial f}{\partial z}(z_0) - \frac{\partial f}{\partial \bar{z}}(z_0)\right)$

[edita] Diferenciabilitat en sentit real de les funcions d'una variable complexa

Es diu que una funció d'una variable complexa és diferenciable en sentit real, o $\mathbb{R}$ -diferenciable en un punt si es pot aproximar localment (a l'entorn d'aquell punt) per la suma d'una constant i d'una funció $\mathbb{R}$ -lineal, anomenada diferencial.

Definició : diem que una aplicació és -lineal si : .
- (aleshores : $\forall u \in \mathbb{R},\, \forall v \in \mathbb{R},\, L(u + i\, v) = u L(1)+ v L(i)$ )

Definició : diem que la funció és -diferenciable en un punt si existeixen una aplicació -lineal i una funció d'una variable complexa tals que quan i (suposant que , on r és el radi d'una bola tal que ).
- Quan existeix, l'aplicació L és única (com a conseqüència de la propietat següent) ; s'anomena $\mathbb{R}$ -diferencial o diferencial de $\ f$ en $\ z_0$ i es nota habitualment per $\ df(z_0)$ .
- Diem que $\ f$ és $\mathbb{R}$ -diferenciable en U si és $\mathbb{R}$ -diferenciable en tot punt de U.

Propietat : quan és -diferenciable en un punt , aleshores
- és contínua en $\ z_0$
- té derivades parcials primeres en $z 0$ , i $\frac{\partial f}{\partial x}(z_0) = L(1) = df(z_0)(1)$ , $\frac{\partial f}{\partial y}(z_0) = L(i) = df(z_0)(i)$ .

demostració :

continuïtat : $f(z_0+h) = f(z_0) + L(h) + h\, \epsilon(h) \to f(z_0)$ quan $h \to 0$ perquè $L(h) \to 0$ (la $\mathbb{R}$ -diferencial L és un endomorfisme d'un espai vectorial de dimensió finita, per tant és contínua) i $h\, \epsilon(h) \to 0$ .
existència i expressió de les derivades parcials primeres :
- per a tot u real tal que $\ |u | < r$ , $f(z_0+u) = f(z_0) + L(u) + u\, \epsilon(u) = f(z_0) + u L(1) + u\, \epsilon(u)$ ; per tant, si $u \neq 0$ , $\frac{f(z_0+u) - f(z_0)}{u} = L(1) + \epsilon(u) \to L(1)$ quan $u \to 0$ : això prova l'existència de la derivada parcial de la funció $\ f$ en $\ z_0$ respecte a $\ x$ , i la igualtat $\frac{\partial f}{\partial x}(z_0) = L(1)$
- per a tot v real tal que $\ |v | < r$ , $f(z_0+i\, v) = f(z_0) + L(i\, v) + i\, v\, \epsilon(i\, v) = f(z_0) + v L(i) + i\, v\, \epsilon(i\, v)$ ; per tant, si $v \neq 0$ , $\frac{f(z_0+i\, v) - f(z_0)}{v} = L(i) + i\, \epsilon(i\, v) \to L(i)$ quan $v \to 0$ : això prova l'existència de la derivada parcial de la funció $\ f$ en $\ z_0$ respecte a $\ y$ , i la igualtat $\frac{\partial f}{\partial y}(z_0) = L(i)$ .

Teorema : una condició suficient (no necessària) de -diferenciabilitat en un punt, o en un obert.
- si $\ f$ té derivades parcials primeres respecte a x i y (o a $\ z$ i $\ \bar{z}$ ) en tot punt d'un entorn de $\ z_0 \in U$ , i si $\frac{\partial f}{\partial x}$ , $\frac{\partial f}{\partial y}$ (o $\frac{\partial f}{\partial z}$ , $\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}$ ) són contínues en $\ z_0$ , aleshores $\ f$ és $\mathbb{R}$ -diferenciable en $\ z_0$
- en particular, si $\ f$ té derivades parcials primeres respecte a x i y (o a $\ z$ i $\ \bar{z}$ ) definides i contínues en tot punt de U, la funció $\ f$ és $\mathbb{R}$ -diferenciable en U. En aquest cas, es diu que $\ f$ és $\mathbb{R}$ -contínuament diferenciable en U, o de classe $\ C^1$ en U.