Funció d'una variable complexa diferenciable en sentit real
De Viquipèdia
Aquest article serveix d'introducció a l'article sobre les equacions de Cauchy-Riemann. S'hi defineix les derivades parcials (respecte a o
) i la diferenciabilitat en sentit real de les funcions (de valor complex) d'una variable complexa.
Considerem aquí una funció d'una variable complexa, definida en un obert U de
. Emprem les notacions següents :
- la variable complexa
es nota per
, on x, y són reals
- les parts real i imaginària de
es noten respectivament per
i
, es a dir :
, on
són dues funcions reals de dues variables reals.
Taula de continguts |
[edita] Derivades parcials d'una funció d'una variable complexa
[edita] Derivades parcials respecte a x i y
Definició : sigui , on
són reals.
- diem que f té derivada parcial (primera) al punt
respecte a la variable x, notada per
si existeix el límit (finit)
- diem que f té derivada parcial (primera) al punt
respecte a la variable y, notada per
si existeix el límit (finit)
Propietat :
- la derivada parcial
existeix si i només si les derivades parcials
,
existeixen, i aleshores
- la derivada parcial
existeix si i només si les derivades parcials
,
existeixen, i aleshores
Derivades parcials d'ordre superior :
- si, per exemple,
existeix en tot punt
, es defineix la funció
- si, a més a més, la funció
té derivada parcial primera al punt
respecte a la variable x, la notem per
:
. Semblantment, si existeix
, la notem per
, etc.
[edita] Derivades parcials respecte a
i ![\ \bar{z}](../../../../math/6/8/d/68d5660638633e7219cf8ab1948d0c59.png)
Definició : suposem que f tingui derivades parcials primeres respecte a x i y al punt . Aleshores, definim :
Propietat : en conservar les hipòtesis precedents
[edita] Diferenciabilitat en sentit real de les funcions d'una variable complexa
Es diu que una funció d'una variable complexa és diferenciable en sentit real, o -diferenciable en un punt si es pot aproximar localment (a l'entorn d'aquell punt) per la suma d'una constant i d'una funció
-lineal, anomenada diferencial.
- Definició : diem que una aplicació
és
-lineal si :
.
- (aleshores :
)
- (aleshores :
- Definició : diem que la funció
és
-diferenciable en un punt
si existeixen una aplicació
-lineal
i una funció
d'una variable complexa tals que
quan
i
(suposant que
, on r és el radi d'una bola tal que
).
- Quan existeix, l'aplicació L és única (com a conseqüència de la propietat següent) ; s'anomena
-diferencial o diferencial de
en
i es nota habitualment per
.
- Diem que
és
-diferenciable en U si és
-diferenciable en tot punt de U.
- Quan existeix, l'aplicació L és única (com a conseqüència de la propietat següent) ; s'anomena
- Propietat : quan
és
-diferenciable en un punt
, aleshores
- és contínua en
- té derivades parcials primeres en z0, i
,
.
- és contínua en
demostració :
- continuïtat :
quan
perquè
(la
-diferencial L és un endomorfisme d'un espai vectorial de dimensió finita, per tant és contínua) i
.
- existència i expressió de les derivades parcials primeres :
- per a tot u real tal que
,
; per tant, si
,
quan
: això prova l'existència de la derivada parcial de la funció
en
respecte a
, i la igualtat
- per a tot v real tal que
,
; per tant, si
,
quan
: això prova l'existència de la derivada parcial de la funció
en
respecte a
, i la igualtat
.
- per a tot u real tal que
- Teorema : una condició suficient (no necessària) de
-diferenciabilitat en un punt, o en un obert.
- si
té derivades parcials primeres respecte a x i y (o a
i
) en tot punt d'un entorn de
, i si
,
(o
,
) són contínues en
, aleshores
és
-diferenciable en
- en particular, si
té derivades parcials primeres respecte a x i y (o a
i
) definides i contínues en tot punt de U, la funció
és
-diferenciable en U. En aquest cas, es diu que
és
-contínuament diferenciable en U, o de classe
en U.
- si