Constant d'Euler-Mascheroni

De Viquip??dia

La constant d'Euler-Mascheroni o senzillament ?? (gamma) ??s una constant matem??tica, usada principalment en teoria dels nombres, i es defineix com el l??mit de la difer??ncia entre la s??rie harm??nica i el logaritme natural:

$\gamma = \lim_{n \to +\infty} \left( \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \ln(n) \right)=\int_1^{+\infty}\left({1\over\lfloor x\rfloor}-{1\over x}\right)\,dx$

La seg??ent integral tamb?? est?? relacionada amb la constant d'Euler-Mascheroni, i la funci?? $??$ :

$\gamma = - \int_0^{+\infty} { \ln(x)\, \mathrm{e}^{-x} }\,dx = -\Gamma'(1).$

El valor aproximat d'aquesta constant ??s:

?? ??? 0,577 215 664 901 532 860 606 512 090 082
      402 431 042 159 335 939 923 598 805 767
      234 884 867 726 777 664 670 936 947 063 
      291 746 749 ...

No se sap si gamma ??s racional. De tota manera, l'an??lisi per fraccions cont??nues mostra que si gamma ??s racional, el seu denominador t?? m??s de 10,000 d??gits, ??s a dir, que si ?? = a /b llavors b > 10¹⁰⁰⁰⁰; aquest resultat s'ha millorat i actualment el l??mit est?? en b > 10²⁴²⁰⁸⁰. La constant d'Euler-Mascheroni tamb?? apareix a una f??rmula per a la funci?? Gamma.

El nom de la constant es deu als matem??tics Leonhard Euler i Lorenzo Mascheroni.