Arc capaç
De Viquipèdia
L'arc capaç d'un segment AB i un angle λ és el lloc geomètric de tots els punts d'un semiplà des dels quals es veu aquest segment sota un mateix angle λ. És sempre un arc de circumferència i la resta de la circumferència, que és a l'altre semiplà, és l'arc capaç de l'angle suplementari a λ.
Taula de continguts |
[edita] Demostració
La demostració es fa tenint en compte dos casos. Primer els punts de l’arc que es troben a la zona del arc que queda limitada per la prolongació de les linines que passen pels extrems del segment i el centre. Després els altres punts de l’arc.
[edita] Cas dels punts de l'arc que es troben entre les prolongacions dels radis que passen per A i B
Si C és el centre de l’arc de circumferència que passa per A i B, llavors els triangles PCB i PCA són isòsceles doncs els costats PC, CA i CB són tots tres iguals al radi de la circumferència.
Per tant l’angle PCB és igual a 180 – 2*CPB i l’angle PCA és igual a 180 – 2*CPA.
Però com que PCB + PCA + ACB ha de ser 360. Resulta que:
360= (180-2*CPB)+(180-2*CPA)+ACB
CPB + CPA = 1/2*ACB
Però CPB + CPA és l’angle amb que el punt P veu el segment AB, i ACB és l’angle amb que el veu el centre de la circumferència, per tant com que aquest raonament es pot fer per a qualsevol punt del arc que quedi entremig de les línies de punts tots aquests punts veuen el segment amb un angle meitat del angle amb que el veu el centre.
[edita] Cas dels punts de l'arc que es troben fora de les prolongacions dels radis que passen per A i B
En aquest cas l’angle en que el punt P veu el segment AB (angle APB) es pot expressar com: APB = APC – BPC
Els triangles PCA i PCB són isòsceles perquè els costats PC, AC i CB són iguals al radi del arc traçat amb centre a C.
Per tant l’angle APC = ½(180-PCA) i BPC = ½(180-(PCA+ACB)
Substituint resulta que:
APB = ½(180-PCA) – ½(180-(PCA+ACB)) = 1/2ACB
Altre cop l’angle amb que el punt P veu el segment AB és la meitat de l’angle amb que el veu el punt C.
Per tant tots els punts del arc que va de A a B amb centre a C veuen al segment AB amb el mateix angle i aquest angle és igual a la meitat del angle amb que el veu el mateix punt C.
[edita] Construcció
Aquest resultat dona el mètode per a construir l’arc capaç. Dibuixar l’arc capaç que veu el segment AB amb un angle a cal trobar el punt C de la mediatriu del segment AB que el veu amb un angle 2α. Després prenent com a centre el punt C es dibuixa l’arc que va de A a B.
Per a trobar el punt C només cal tenir en compte que el triangle ACB també és isòsceles per tant l’angle BAC ha de ser ½(180-2 α) = 90- α. Es traça la mediatriu del segment AB i una recta que passa pel punt A i que forma un angle de 90- α respecte del segment AB, el punt on aquesta recta talla la mediatriu és el centre de l’arc capaç d’agle α.
