Produit cartésien

Cet article fait référence au concept mathématique sur les ensembles. Pour les graphes, voir produit cartésien de graphes.

En mathématiques, le produit cartésien de deux ensembles X et Y, appelé ensemble-produit, est l'ensemble de tous les couples, dont la première composante appartient à X et la seconde à Y. On généralise facilement la notion de produit cartésien binaire à celle de produit cartésien fini, qui est alors un ensemble de multiplets, on dit n-uplets pour les éléments d'un produit cartésien de n ensembles. On peut aussi introduire la notion de somme disjointe (ou cartésienne). Pour généraliser aux produits cartésiens infinis, des produits d'une famille quelconque (éventuellement infinie) d'ensembles, on a besoin de la notion de fonction.

Les produits cartésiens doivent leur nom à René Descartes, qui, en créant la géométrie analytique, a le premier utilisé ce que nous appelons maintenant, ℝ² = ℝ × ℝ pour représenter le plan euclidien et ℝ³ = ℝ × ℝ × ℝ pour représenter l'espace euclidien tri-dimensionnel (ℝ désigne la droite réelle).

Produit cartésien de deux ensembles

Définition

Pour tout ensemble A et tout ensemble B, il existe un ensemble, unique d'après l'axiome d'extensionnalité, dont les seuls éléments sont tous les couples dont la première composante appartient à A et la seconde à B :

\forall A \text{, } \forall B \text{, } \exists P \text{: } \forall z \text{, } \bigl\{ z \in P \Leftrightarrow \bigl[ \exists x \text{, } \exists y \text{: } \bigl( ( x \in A ) \land ( y \in B ) \land ( z = ( x, y ) ) \bigr) \bigr] \bigr\}

Cet ensemble, désigné par P dans l’énoncé précédent, est noté A × B (lire « A croix B ») et il est appelé produit cartésien de A par B.

Si on considère couples et produits cartésiens comme une notion primitive, on aura comme axiome cette propriété d'existence et d'unicité. Elle se démontre, en théorie des ensembles ZFC, pour la représentation des couples choisie.

Exemple

Si A est l'ensemble { A, R, D, V, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2 } et B l'ensemble { pique, cœur, carreau, trèfle }, alors le produit cartésien de ces deux ensembles est un jeu classique de 52 cartes, soit l'ensemble suivant :

{ (A, pique) ... (2, pique) , (A, cœur) ... (2, coeur) , (A, carreau) ... (2, carreau) , (A, trèfle) ... (2, trèfle) }.

Propriétés

On déduit directement de la définition que le produit cartésien d'un ensemble par l'ensemble vide est égal à l'ensemble vide, c'est-à-dire que pour tout ensemble $A$ : $\varnothing \times A = A \times \varnothing = \varnothing.$
Si A et B sont des cardinaux finis, alors le cardinal de A × B est égal au produit des cardinaux de A et de B.
En règle générale, B × A ≠ A × B. Plus précisément, pour deux ensembles quelconques A et B : $[A \times B \ne B \times A] \Leftrightarrow [( A \ne B ) \wedge ( A \ne \varnothing ) \wedge ( B \ne \varnothing )].$
A × A est noté A² et appelé carré cartésien de A : $A^2 = \{ ( x, y ) | ( x \in A ) \wedge ( y \in A ) \}.$
A² ne doit pas être confondu avec la diagonale Δ_A de A : $\Delta_A = \{ ( x, x ) | x \in A \}.$ Un couple d'éléments distincts n'appartient jamais à la diagonale.
Les sous-ensembles d'un produit cartésien V × V sont les graphes orientés sur l'ensemble de sommets V.

Représentation en théorie des ensembles

En théorie des ensembles, si on choisit, comme usuellement, la représentation des couples de Kuratowski, les couples dont la première composante est dans A et la seconde dans B sont des éléments de P[P(A∪B)] (où P(E) désigne l'ensemble des parties de E). L'existence de cet ensemble résulte de l'axiome de la réunion et de l'axiome de l'ensemble des parties.

On peut donc définir le produit cartésien par compréhension, on aura bien sûr besoin des couples, donc, en plus des axiomes précédents, de l'axiome de la paire et du schéma d'axiomes de compréhension :

A \times B=\left \{(a,b)|(a\in A)\wedge(b\in B)\right\}=\left \{z\in P(P(A\cup B))|\exists a\in A\;\exists b\in B\ z=(a,b)\right\}

On peut aussi définir le produit cartésien en utilisant, au lieu de l'ensemble des parties, deux fois le schéma d'axiomes de remplacement^[1] d'abord pour A × {b} puis pour :

A \times B =\bigcup_{b \in B} A\times \{b\}.

Représentation en théorie des catégories

Dans la catégorie des ensembles, étant donnés deux objets S et T il existe un objet P et deux morphismes $p_1 : P\to S$ et $p_2 : P\to T$ tels que pour tout objet X et tous morphismes $f_1 : X\to S$ et $f_2 : X\to T$ il existe un unique morphisme $f$ : X→P tel que $f_1 = p_1 \circ f$ et $f_2=p_2\circ f$ . L'objet P n'est autre que le produit cartésien S × T dont l'existence est discutée ci-dessus. Un couple est alors un élément de S × T ; si $p_1(M) = s$ et $p_2(M) = t$ , on note M=(s,t).

Dans une catégorie quelconque, un produit P n'existe pas toujours, mais, quand il existe, il est unique à isomorphisme unique près. En particulier, toutes les structures ainsi obtenues sont isomorphes, ce qui permet de définir le produit cartésien S × T^[2]^,^[3].

Généralisation à plus de deux ensembles

Triplets

Comme pour les couples, l'important, c'est leur propriété fondamentale : deux triplets sont égaux si et seulement si leurs premières composantes sont égales entre elles, puis leurs deuxièmes composantes, et enfin leurs troisièmes :

\forall a , \forall b , \forall c , \forall d , \forall e , \forall f , [\, ( a , b , c ) = ( d , e , f ) \,] \Leftrightarrow [\, ( a = d ) \wedge ( b = e ) \wedge ( c = f ) \,]

Là encore, cette propriété ne suffit pas à définir la notion de triplet, et là encore, plusieurs définitions incompatibles entre elles sont possibles a priori. On pose habituellement :

\forall a , \forall b , \forall c , ( a , b , c ) = ( ( a , b ) , c )

Produit cartésien de trois ensembles

Il est défini par :

A \times B \times C = \left \{ ( a, b, c ) | ( a \in A ) \wedge ( b \in B ) \wedge ( c \in C ) \right \}

D'après ce qui précède, A × B × C = (A × B) × C. Là encore l'ordre des termes est important. Le produit A × A × A est appelé cube cartésien de A et il est noté A³ (lire « A au cube ») :

A^3=\{(x,y,z)|(x\in A)\wedge(y\in A)\wedge(z\in A)\}.

Multiplets

Les définitions précédentes se généralisent par récurrence :

Propriété fondamentale d'un multiplet d'ordre n, ou n-uplet :

\forall a_{1} , \forall a_{2} , \cdots , \forall a_{n} , \forall b_{1} , \forall b_{2} , \cdots , \forall b_{n} ,

[\, ( a_{1} , a_{2} , \cdots a_{n} ) = ( b_{1} , b_{2} , \cdots b_{n} ) \,] \Leftrightarrow [\, ( a_{1} = b_{1} ) \wedge ( a_{2} = b_{2} ) \wedge \cdots ( a_{n} = b_{n} ) \,]

Définition d'un n-uplet :

\forall a_{1} , \forall a_{2} , \cdots \forall a_{n} , ( a_{1} , a_{2} , \cdots a_{n-1} , a_{n} ) = ( ( a_{1} , a_{2} , \cdots a_{n-1} ) , a_{n} )

Produit cartésien de n ensembles :

A_{1} \times A_{2} \times \cdots \times A_{n-1} \times A_{n} = ( A_{1} \times A_{2} \times \cdots \times A_{n-1} ) \times A_{n}

Puissance cartésienne n-ième d'un ensemble :

A^{n} = A^{n-1} \times A = \prod_{i=1}^n A = \{ ( x_1 , x_2 , \cdots x_n ) | \,\forall i , x_i \in A \,\}

Note : on peut définir des produits cartésiens infinis (voir ci-dessous), mais pour le faire, nous avons besoin de la notion de fonction.

Somme disjointe

Dans une réunion d'ensembles A∪B, l'origine des éléments y figurant est perdue. Un moyen d'éviter cette perte d'information est de réunir non pas directement les ensembles de départ, mais des copies de ces ensembles de la forme { α } × A et { β } × B , où « α » et « β » sont deux symboles quelconques distincts servant à identifier les ensembles A et B, par exemple « 0 » et « 1 ».

L'union disjointe, encore appelée somme disjointe ou somme cartésienne, de deux ensembles A et B est ainsi définie par :

A + B = A \dot \cup B = ( \{ 0 \} \times A ) \cup ( \{ 1 \} \times B )

On peut remarquer que la somme disjointe de deux ensembles vérifie également la propriété fondamentale des couples. De plus, contrairement aux couples de Kuratowski, cette notion, qui n'utilise que des opérations ensemblistes élémentaires, peut s'appliquer aux classes propres. C'est pourquoi les sommes disjointes sont parfois appelées couples généralisés, et utilisées ainsi en théorie des classes.

La somme disjointe peut se généraliser à plus de deux ensembles. Par exemple, pour trois ensembles quelconques A, B et C:

A\dot \cup B \dot \cup C = ( \{ 0 \} \times A ) \cup ( \{ 1 \} \times B ) \cup ( \{ 2 \} \times C )

On rappelle que l'entier de von Neumann 2 peut se définir comme {Ø, {Ø}} . Plus généralement, l'entier de von Neumann n étant défini, l'entier de von Neumann n+1 est défini par n+1 = n ∪ {n}.

On peut donc généraliser ce qui précède et définir ainsi la somme disjointe de n ensembles $A_0 , A_1, \cdots A_{n-1}$ quelconques :

A_0 \dot\cup A_1 \dot\cup\cdots\dot\cup A_{n-1} = \bigcup_{i=0}^{n-1}(\{i\}\times A_i)

D'autre part cette définition de la somme disjointe utilise les entiers de la théorie des ensembles, non ceux du méta-langage. On peut donc également généraliser cette notion à des ensembles quelconques (non nécessairement finis) d'indices, par exemple des réunions disjointes dénombrables.

La définition de la somme disjointe souffre d'un arbitraire inessentiel. On peut définir la somme disjointe comme étant la réunion $\bigcup_{i\in I} (A_i\times\{i\})$ ou bien $\bigcup_{i\in I} (\{i\}\times A_i)$ . Ces deux possibilités correspondent respectivement à un marquage « à droite » ou « à gauche » des éléments de la réunion $\bigcup_{i\in I} A_i$ selon l'indice associé à l'ensemble dont ils proviennent. Dans les deux cas, il existe une surjection de la somme disjointe sur la réunion, qui est une bijection si les ensembles de la famille $(A_i)_{i\in I}$ sont disjoints deux à deux. (Voir la section famille d'ensembles pour la notation.)

Produits infinis

On peut généraliser la notion de produit cartésien à celle de produit d'une famille d'ensembles indexée par un ensemble quelconque, fini ou infini.

Bien que plus générale, cette notion peut difficilement être introduite en théorie des ensembles avant celle de produit cartésien binaire, du moins naturellement, car elle fait appel à la notion de fonction, qui utilise à son tour justement celle de couple, et donc de produit cartésien binaire^[4].

Famille d'ensembles

Article détaillé : famille (mathématiques).

Une famille A d'ensembles indexée par un ensemble I est une fonction définie sur I. L'image de i par A est notée A_i. Il s'agit juste d'une notation (adaptée à un certain usage) pour une construction connue. La famille A indexée par I sera plutôt notée (A_i)_i∈I.

Produit cartésien d'une famille d'ensembles

On peut maintenant définir le produit cartésien d'une famille d'ensembles (A_i)_i∈I, que l'on note habituellement $\prod_{i \in I}\, \begin{matrix} \, \\ A_i \end{matrix} \,$ , ou parfois $\begin{matrix} \, \\ \times \\ \,^{i \in I} \end{matrix} \, \begin{matrix} \, \\ A_i \end{matrix} \,$ .

Il s'agit de l'ensemble des fonctions f de I dans la réunion de la famille, telles que pour tout i dans I, f(i) appartienne à A_i :

\prod_{i \in I} A_i = \{ f : I \to \bigcup_{i \in I} A_i \ |\ \forall\ i , \, f(i) \in A_i \} \,

Pour utiliser cette définition, il faut pouvoir extraire d'un élément du produit sa composante d'indice j, élément de I. Pour cela, on définit pour tout j dans I, la fonction appelée j-ème projection, $\pi_j:\prod_{i\in I}A_i\to A_j,\quad f\mapsto f(j).$
On peut définir plus généralement, pour toute partie J de I, la « projection d'indice J », à valeurs dans le « produit partiel » indexé par J^[5] : $\pi_J:\prod_{i\in I}A_i\to\prod_{i\in J}A_i,\quad f\mapsto(f(i))_{i\in J}.$ (Si J est un singleton { j }, le produit partiel indexé par J est en bijection canonique avec A_j^[5].)
On peut énoncer l'axiome du choix ainsi : le produit d'une famille d'ensembles non vides est non vide.

Lien avec le produit de deux ensembles

Soient A et B deux ensembles. Pour toute paire I = {α, β} (par exemple α = ∅ et β = {∅}), on a une bijection canonique entre le produit A×B des deux ensembles et le produit de la famille (A_i)_i∈I définie par A_α = A et A_β = B, en associant à tout couple (x, y) de A×B l'élément f défini par f(α) = x et f(β) = y^[5].

Associativité

Soient (A_i)_i∈I une famille d'ensembles et (J_k)_k∈K une partition de I^[6]. L'application canonique

\prod_{i\in I}A_i\to\prod_{k\in K}(\prod_{i\in J_k}A_i),\quad f\mapsto(\pi_{J_k}(f))_{k\in K}

est bijective^[7].

Par récurrence, le produit de n ensembles s'identifie ainsi au produit d'une famille indexée par {1, 2, … , n}.

Notes et références

↑ Harvey Friedman.
↑ Baez, quantum, node 4
↑ (en) Colin McLarty, Elementary Categories, Elementary Toposes, Clarendon Press, Oxford, 1995
↑ Une fonction de A dans B est souvent introduite comme un triplet (A, B, C), où C est un sous-ensemble du produit cartésien A × B, appelé graphe de la fonction et tel que tout élément de A figure (en première composante) dans exactement un couple de C. En pratique toutefois, s'il n'y a pas de risque d'ambiguïté, on peut par abus de langage assimiler la fonction à son graphe C. D'ailleurs, en théorie des ensembles, on définit souvent une fonction directement comme un ensemble de couples. La pratique est cohérente — être une fonction de A dans B devient alors une propriété de la fonction — mais pas à conseiller dans les cours d'introduction aux mathématiques.
1 2 3 N. Bourbaki, Éléments de mathématique : Théorie des ensembles [détail des éditions], p. II.33.
↑ Ou même seulement un recouvrement de I par des sous-ensembles disjoints mais pas nécessairement non vides : voir Produit vide.
↑ Bourbaki, p. II.35.

Articles connexes

Produit vide
Relation binaire

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