Négation logique
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En logique et en mathématiques, la négation est un opérateur logique unaire, on dit aussi connecteur logique unaire. Il sert à créer une proposition à partir d'une autre en en inversant la signification, de « vrai » en « faux » ou de « démontrable » en « non démontrable ».
On note la négation d'une proposition P de diverses manières dont :
- ¬P (utilisée dans cet article);
- Non P ;
- ~P ;
Ces formulations se lisent « négation de P » ou plus simplement « non P ».
Dans l'interprétation par des tables de vérité, la proposition ¬P est vraie quand P est fausse et elle est fausse quand P est vraie. La table de vérité s'écrit simplement :
| P | ¬P |
|---|---|
| V | F |
| F | V |
En logique classique, la double négation correspond à une affirmation; autrement dit, les propositions P et ¬ (¬P) sont logiquement équivalentes. En logique intuitionniste, la proposition ¬¬P est plus faible que P, dans le sens où P implique ¬¬P, mais ¬¬P n'implique pas P. Néanmoins, les propositions ¬¬¬P et ¬P sont logiquement équivalentes.
Voici quelques règles d'utilisation des négations en logique classique :
| ¬(P ou Q) | équivaut à | (¬P) et (¬Q) |
| ¬(P et Q) | équivaut à | (¬P) ou (¬Q) |
| ¬(P ⇒ Q) | équivaut à | P et (¬Q) |
| ¬(∃x, P(x)) | équivaut à | ∀x, ¬P(x) |
| ¬(∀x, P(x)) | équivaut à | ∃x, ¬P(x) |
Articles connexes
- Fonction NON
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