Géométrie hyperbolique

En mathématiques, la géométrie hyperbolique (nommée parfois géométrie de Lobatchevski) est une géométrie non euclidienne vérifiant les quatre premiers postulats de la géométrie euclidienne, mais pour laquelle le postulat euclidien des parallèles est remplacé par le postulat que « par un point extérieur à une droite passe plus d'une droite parallèle ». On démontre qu'alors il y a une infinité de droites parallèles.

En géométrie hyperbolique, le théorème de Pythagore n'est plus valable et la somme des angles d'un triangle n'est plus égale à 180°. Une droite est toujours définie comme la ligne de plus court chemin joignant deux points sur une surface.

Lobatchevski^[1], Klein et Poincaré ont créé des modèles de géométrie non euclidienne dans lesquelles on peut tracer une infinité de parallèles à une droite donnée et passant par un même point. On peut citer, en deux dimensions : le disque de Poincaré, le demi-plan de Poincaré…

Il existe une infinité de droites qui, comme d1, d2 et d3, passent par le point M et sont parallèles à la droite D (représentation de Lobatchevski)
(représentation de Poincaré)

Historique

L'histoire de la géométrie hyperbolique semble commencer au début du XVIII^e siècle avec les travaux du mathématicien italien Giovanni Girolamo Saccheri^[2], qui chercha à démontrer dans l'œuvre de sa vie, Euclides ab omni naevo vindicatus (Euclide sans erreur), que les postulats d'Euclide étaient cohérents et nécessaires pour définir la géométrie euclidienne. Il chercha notamment, par une démonstration par l'absurde, à obtenir des contradictions en supposant faux le 5^e postulat d'Euclide sur les parallèles.

Il échoua dans cette tentative, mais obtint en revanche - en supposant faux le 5^e postulat - une grande quantité des théorèmes tout à fait cohérents entre eux, qui appartiennent maintenant à la géométrie hyperbolique. Mais il ne réalisa pas qu'il avait sous les yeux une nouvelle géométrie, et considéra son œuvre et sa vie comme un échec.

Au milieu du XVIII^e siècle, Johann Heinrich Lambert étudia également les conséquences de la négation du 5^e postulat d'Euclide, et obtint des théorèmes et des résultats précis appartenant à la géométrie hyperbolique, comme la formule donnant la somme des angles d'un triangle en fonction de sa surface, en géométrie hyperbolique :

C \Delta = \pi - ( \alpha + \beta + \gamma)

où $\alpha, \beta, \gamma$ sont les angles des trois sommets du triangle, C un coefficient de proportionnalité, et $\Delta$ la surface du triangle. Vers la fin de sa vie, il semble qu'il ait réalisé que ces théorèmes manifestaient l'existence d'une authentique géométrie "sur une sphère de rayon imaginaire"^[2].

Ce sont, près d'un siècle plus tard, les travaux de Carl Friedrich Gauss qui sont généralement reconnus comme étant le véritable point de départ de la géométrie hyperbolique, bien que ceux-ci n'aient jamais été publiés de son vivant. Il formula dans ses notes une théorie structurée, et il semble qu'il avait pleinement conscience que cette géométrie avait un statut mathématique équivalent à celui de la géométrie euclidienne. Il aurait même essayé de mesurer, par des expériences de géodésie, si la géométrie hyperbolique n'était pas à grande échelle la géométrie réelle de l'univers^[3].

Au cours du XIX^e siècle, la géométrie hyperbolique a été redécouverte et explorée de manière extensive par Nikolaï Lobatchevski en 1830 et indépendamment par János Bolyai en 1832.

Eugenio Beltrami proposa en 1868 plusieurs représentations de la géométrie hyperbolique, dont la représentation conforme et projective, redécouvertes par la suite respectivement par Henri Poincaré et Felix Klein. Il démontra également que si la géométrie euclidienne est mathématiquement cohérente, alors la géométrie hyperbolique l'est aussi nécessairement.

Représentations de la géométrie hyperbolique

Une représentation d'une géométrie est un modèle permettant de représenter graphiquement et de manière cohérente une géométrie et ses propriétés. Par exemple, le diagramme de Minkowski est une représentation de la géométrie minkowskienne.

Il existe plusieurs représentations de la géométrie hyperbolique. Aucune n'est plus "vraie" ou plus "réelle" qu'une autre. Elles sont équivalentes sur le plan mathématique. Il existe d'ailleurs des isomorphismes permettant de passer d'une représentation à une autre.

Représentation de Klein-Beltrami ou représentation projective

Article détaillé : Modèle de Klein.

Pavage du plan hyperbolique par des heptagones réguliers, dans le modèle de Klein-Beltrami

Dans ce modèle, l'espace hyperbolique est une boule ouverte euclidienne. En dimension 2, le plan hyperbolique est donc modélisé par un disque ouvert. Les droites de l'espace hyperbolique sont des segments dont les extrémités appartiennent au bord de la boule. De ce fait, la représentation des droites hyperboliques y est aisée. Mais les angles ne sont pas conservés et les cercles sont représentés par des ellipses.

La sphère (ou le cercle en dimension 2) limitant le domaine du modèle correspond à des points de l'espace hyperbolique situés à l'infini. Aussi, plus on s'approche du bord du domaine et plus les distances ont l'air de se contracter dans le modèle.

Disque de Poincaré, ou représentation conforme

Article détaillé : Disque de Poincaré.

Pavage du plan hyperbolique par des heptagones réguliers, dans le modèle du disque de Poincaré

Comme dans le modèle de Klein-Beltrami, l'espace hyperbolique est représenté dans ce modèle par une boule ouverte euclidienne (et donc par un disque en dimension 2), mais les droites de cet espace hyperbolique sont des arcs de cercles perpendiculaires au bord de la boule. L'intérêt de cette représentation est que, localement, la métrique de l'espace est, à un facteur près,la métrique euclidienne du modèle. En particulier, l'angle entre deux droites de l'espace hyperbolique est égal à l'angle de la géométrie euclidienne formé par les deux arcs de cercles du modèle représentant ces deux droites. On dit que la représentation de l'espace hyperbolique est conforme.

Comme dans le modèle de Klein-Beltrami, la sphère (ou le cercle en dimension 2) limitant le domaine du modèle correspond à des points de l'espace hyperbolique situés à l'infini. Aussi, plus on s'approche du bord du domaine et plus les distances ont l'air de se contracter dans le modèle.

Demi-plan de Poincaré

Article détaillé : Demi-plan de Poincaré.

Pavage du plan hyperbolique par des heptagones réguliers, dans le modèle du demi-plan de Poincaré

Dans ce modèle, l'espace hyperbolique est un demi-espace ouvert de $\mathbb R^n$ . En dimension 2, le plan hyperbolique est donc modélisé par un demi-plan euclidien. Les droites de cet espace hyperbolique sont des arcs de cercles perpendiculaires à l'hyperplan (ou à la droite en dimension 2) limitant le demi-espace. La représentation est là aussi conforme.

Dans ce modèle, l'hyperplan (ou la droite en dimension 2) limitant le domaine correspond à des points de l'espace hyperbolique situés à l'infini. Aussi, plus on s'approche de cet hyperplan et plus les distances ont l'air de se contracter dans le modèle.

Représentation de Lorentz, ou représentation hyperboloïde

Article détaillé : Modèle de l'hyperboloïde.

Dans ce modèle, l'espace hyperbolique est une nappe d'un hyperboloïde muni d'une métrique particulière.

Dynamique chaotique

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Le flot géodésique sur une variété riemannienne à courbure négative est le prototype de système dynamique à temps continu le plus chaotique qui soit, une propriété remarquée dès 1898 par Hadamard^[4]. On sait aujourd'hui que ce flot est, par ordre croissant d'irrégularités^[5]^,^[6] :

ergodique ;
mélangeant (« mixing ») ;
K-système (Anosov) ;
C-système = bernoullien^[7].

Lire aussi : Chaos on the pseudosphere^[8], Hyperbolic geometry in two dimensions and trace formulas^[9], Quantum and classical properties of some billiards on the hyperbolic plane^[10].

Références

↑ (en) Nikolai I. Lobachevsky, Pangeometry, éd. et trad. Athanase Papadopoulos, Heritage of European Mathematics, Zürich, EMS, xii, 310~p., 2010 (ISBN 978-3-03719-087-6)
1 2 Roger Penrose, À la découverte des lois de l'univers, Odile Jacob, 2007, chap 2.4
↑ (en) Jeremy Gray (en), Ideas of Space. Euclidean, Non-Euclidean and Relativistic [détail des éditions]
↑ Jacques Hadamard, « Les surfaces à courbures opposées et leurs lignes géodésiques », dans Journal de mathématiques pures et appliquées, vol. 4, 1898, p. 27.
↑ (en) Vladimir Arnold et André Avez, Ergodic problems of classical mechanics, Advanced Book Classics, Addison-Wesley, 1988.
↑ Pierre Pansu, « Le flot géodésique des variétés Riemanniennes à courbure négative », dans Séminaire Bourbaki, vol. 738, 1991, publié dans Astérisque, vol. 201-203, 1991, p. 269-298.
↑ (en) Donald S. Ornstein et Benjamin Weiss, « Geodesic flows are Bernouillians », dans Israel Journal of Mathematics, vol. 14, 1973, p. 184.
↑ (en) Nandor Balazs (en) et André Voros, « Chaos on the pseudosphere », dans Physics Report, vol. 143, 1986, p. 109.
↑ (en) Yves Colin de Verdière, « Hyperbolic geometry in two dimensions and trace formulas », dans : Marie-Joya Giannoni, André Voros et Jean Zinn-Justin (éditeurs), Chaos & Quantum Physics, Proceeedings de l'École d'été de physique théorique des Houches de 1989, session LII, North-Holland, 1991 (ISBN 0-444-89277-X).
↑ (en) Charles Schmit, « Quantum and classical properties of some billiards on the hyperbolic plane », dans Chaos & Quantum Physics, op. cit.

Annexes

Bibliographie complémentaire

(en) John Stillwell, Geometry of Surfaces, 1992, coll. « Universitext » (ISBN 978-0-387-97743-0, lire en ligne)
(en) Norbert A'Campo (de) et Athanase Papadopoulos, Notes on hyperbolic geometry, in: Strasbourg Master class on Geometry, p. 1-182, IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics, vol. 18, Zürich: European Mathematical Society (EMS), 461 pages, 2012 (ISBN 978-3-03719-105-7), DOI:10.4171/105
(en) Birger Iversen, Hyperbolic Geometry, LMS Student Texts 25, CUP, 1992 (ISBN 0-521-43528-5)
(en) Toshitsune Miyake, Modular forms, Springer-Verlag, 1989 (ISBN 0-387-50268-8)
Attention, ce n'est pas un livre pour débutant.

Lien externe

Promenade non euclidienne, conférence donnée par Charles Boubel, ENS Lyon.

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