Cercle

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Le cercle de centre O et de rayon r est l'ensemble des points du plan à distance r de O.

En géométrie euclidienne, un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur de cette distance est appelée rayon du cercle. Celui-ci étant infiniment variable, il existe donc une infinité de cercles pour un centre quelconque, dans chacun des plans de l'espace.

Dans le plan euclidien, il s'agit du « rond » qui est associé en français au terme de cercle. Dans un plan non euclidien ou dans le cas de la définition d'une distance non euclidienne, la forme peut être plus complexe. Dans un espace de dimension quelconque, l'ensemble des points placés à une distance constante d'un centre est appelé sphère.

D'autres formes peuvent être qualifiées de « rondes » : les surfaces et solides dont certaines sections planes sont des cercles (cylindres, cônes, etc.)^[1].

Définitions

Divers objets géométriques liés au cercle.

Pendant longtemps, le langage courant employait le mot « cercle » autant pour nommer la courbe (circonférence) que la surface qu'elle délimite. De nos jours, en mathématiques, le cercle désigne exclusivement la ligne courbe, la surface étant, quant à elle, appelée disque.

Le rapport de la circonférence du cercle à son diamètre définit le nombre pi.

D'autres termes méritent d’être définis :

Une corde est un segment de droite dont les extrémités se trouvent sur le cercle.
Un arc est une portion de cercle délimitée par deux points.
Une flèche est le segment reliant les milieux d'un arc de cercle et d'une corde définis par deux mêmes points du cercle
Un rayon est un segment de droite joignant le centre à un point du cercle.
Un diamètre est une corde passant par le centre ; c'est un segment de droite qui délimite le disque en deux parts égales. Le diamètre est composé de deux rayons colinéaires ; sa longueur est $2r$ .
Un disque est une région du plan limitée par un cercle.
Un secteur circulaire est une partie du disque comprise entre deux rayons.
Un angle au centre est un angle formé par deux rayons du cercle.
La circonférence est le périmètre du cercle et est égale à $2\pi r$

Équations

Équations cartésiennes et paramétriques

Cercle unité : centré sur l'origine du repère et de rayon 1 ; définition du sinus et du cosinus.

Dans un plan muni d'un repère orthonormé, l’équation cartésienne du cercle de centre $C(a, b)$ et de rayon $r$ est :

(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 \,

, soit pour le cercle unité ou cercle trigonométrique (le cercle dont le centre est l'origine du repère et dont le rayon vaut 1) :

x^2 + y^2 = 1.

Cette équation est en fait une application du théorème de Pythagore pour le triangle rectangle formé par le point du cercle et sa projection sur les deux rayons parallèles aux axes.

En mettant $y$ en évidence, on obtient la double équation cartésienne du cercle (en fait une équation pour chaque demi-cercle délimité par le diamètre horizontal) :

y = b \pm \sqrt{r^2 - (x-a)^2} \,

Des équations paramétriques possibles du cercle (en fonction du paramètre $\theta \,$ qui exprime ici un angle orienté du vecteur joignant le centre du cercle à un de ces points par rapport au vecteur horizontal unité du repère) sont données par :

x = a + r \cos\theta ;\qquad y = b + r \sin\theta

soit, pour un cercle centré sur l'origine $(0,0)$ :

x = r \cos\theta ;\qquad y = r \sin\theta \,

et pour le cercle unité :

x = \cos\theta ;\qquad y = \sin\theta.

On peut également déterminer une équation pour le cercle de diamètre $[AB]$ :

(x - x_A)(x - x_B) + (y - y_A)(y - y_B) = 0 \,

, soit encore :

x^2 + y^2 - (x_A + x_B)x - (y_A + y_B)y + x_A x_B + y_A y_B = 0.

Points d'intersection avec une droite

La géométrie analytique permet de déterminer l'intersection d'un cercle et d'une droite. Sans perte de généralité, l'origine du repère est le centre du cercle et l'axe des abscisses est parallèle à la droite. Il s'agit alors de résoudre un système de la forme :

x^2+y^2=r^2\quad{\rm et}\quad y=y_0,

donc de chercher les solutions $x$ de

x^2=r^2-y_0^2.

Trois cas se présentent, selon que la distance entre le centre du cercle et la droite est plus grande que le rayon, égale, ou plus petite :

si $|y_0|>r$ , l'intersection est vide ;
si $|y_0|=r$ , la droite est tangente au cercle au point $(0,y_0)$ ;
si $|y_0|<r$ , il existe deux points d'intersection : $(+\sqrt{r^2-y_0^2},y_0)\text{ et }(-\sqrt{r^2-y_0^2},y_0).$

Le cercle vu comme section

Un cercle est une section droite d'un cône de révolution.

Représentation conventionnelle d'un cercle en dessin industriel.

Le cercle est une ellipse dont les foyers sont confondus au centre du cercle ; la longueur du grand axe est égale à la longueur du petit axe. C'est une conique dont l'excentricité $e$ vaut 0. Elle peut être obtenue par l'intersection d'un plan avec un cône de révolution lorsque le plan est perpendiculaire à l'axe de révolution du cône (on parle parfois de « section droite » du cône).

En dessin industriel, un cercle est le plus souvent représenté avec son axe horizontal et son axe vertical (en traits d'axe : trait fin composé de tirets longs et courts), ou bien simplement avec son centre matérialisé par une croix droite « + » en traits fins. Une forme de révolution, pleine ou creuse (cylindre, cône, sphère) et vue selon l'axe de révolution est représentée par un cercle.

Propriétés géométriques

Mesures

La longueur d'un arc de rayon $r$ sous-tendu par un angle au centre $\alpha$ , exprimé en radians, est égale à $\alpha r$ . Ainsi, pour un angle de $2\pi$ (un tour complet), la longueur du cercle vaut $2\pi r$ .

L'aire du disque délimité par un cercle de rayon $r$ vaut $\pi r^2$ ; si l'on prend une corde de longueur $l$ donnée et que l'on s'en sert pour délimiter une surface fermée, la surface ayant la plus grande aire est délimitée par un cercle.

Selon la légende de la fondation de Carthage, le souverain avait permis aux Phéniciens de fonder une ville dont le pourtour serait délimité par une peau de vache ; Didon en fit une grande lanière et choisit une forme circulaire pour avoir la plus grande surface.

Corde et flèche d'un arc

La longueur d'une corde sous-tendue par un angle $\alpha$ est égale à $2r\sin(\alpha/2)$ .

On peut exprimer le rayon r d'un cercle, la corde c et la flèche f d'un quelconque de ses arcs, selon deux d'entre eux :

c = 2\sqrt{(2r - f)f} ;\qquad r = \frac{4f^2+c^2}{8 f} ;\qquad f = r - \sqrt{r^2 - \tfrac{c^2}4}.

La sinuosité de deux arcs de cercle semblables opposés joints dans le même plan en continument dérivable est indépendante du rayon du cercle.

Tangente

Trouver le point de tangence.

Tangente perpendiculaire au rayon.

La tangente en un point du cercle est la perpendiculaire au rayon en ce point.

Cette propriété a des applications en optique géométrique : un rayon lumineux passant par le centre d'un miroir sphérique repart en sens inverse selon la même direction (on a une réflexion perpendiculaire au miroir). Si l'on met une ampoule au centre d'un miroir sphérique, la lumière est renvoyée de l'autre côté, ce qui permet par exemple de « rabattre » la lumière vers un miroir parabolique (principe du contre-miroir).

Considérons un cercle de centre O et un point A extérieur à ce cercle. On cherche une tangente à ce cercle passant par A ; le point de tangence est appelé T.

On utilise le fait que le triangle AOT est rectangle en T. Ce triangle rectangle est donc inscrit dans un cercle dont le centre est le milieu de [AO], ou encore, ce qui est équivalent, que l'hypoténuse a une longueur double de la médiane issue de l'angle droit.

On détermine donc le milieu I de [AO], puis on trace un arc de cercle de centre I et de rayon IO. Cet arc de cercle coupe le cercle aux points de tangence.

Médiatrice

La médiatrice d'une corde passe par le centre.

La médiatrice d'une corde passe par le centre du cercle. Ceci permet de trouver le centre d'un cercle : il suffit de tracer deux cordes non parallèles et de rechercher l'intersection de leurs médiatrices.

On peut aussi montrer que les trois médiatrices d'un triangle sont concourantes et que le point de concours est le centre du cercle passant par les trois sommets, appelé cercle circonscrit au triangle.

Cercle et triangle rectangle

Triangle rectangle inscrit dans un cercle.

Prenons trois points A, B et C, dont deux — A et C — sont diamétralement opposés (c'est-à-dire que [AC] est un diamètre). Alors, le triangle ABC est rectangle en B.

Ceci découle du fait que la médiane issue de l'angle droit vaut la moitié de l'hypoténuse (on a un rayon et un diamètre) ; ceci est une propriété du triangle appelée le théorème de l'angle inscrit dans un demi-cercle.

Angle inscrit, angle au centre

Illustration de la relation entre les secteurs angulaires interceptant un même arc.

Article détaillé : Théorème de l'angle inscrit et de l'angle au centre.

Prenons deux points distincts $A$ et $B$ du cercle. $O$ est le centre du cercle et $C$ est un autre point du cercle. Alors, on a

\widehat{AOB} = 2 \times \widehat{ACB}

Pour l'angle au centre $\widehat{AOB}$ , il faut considérer le secteur angulaire qui intercepte l'arc opposé à l'arc contenant $C$ .

Cette propriété est utilisée dans les appareils d'analyse spectrale par dispersion de longueur d'onde, c'est la notion de cercle de focalisation ou cercle de Rowland.

Puissance d'un point par rapport à un cercle

Article détaillé : Puissance d'un point par rapport à un cercle.

Puissance d'un point par rapport à un cercle.

Si $M$ est un point et $\Gamma$ est un cercle de centre $O$ et de rayon $R$ , alors, pour toute droite passant par $M$ et rencontrant le cercle en $A$ et $B$ , on a

MA\times MB = |OM^2 - R^2|

Cette valeur ne dépend pas de la droite choisie, mais seulement de la position de $M$ par rapport au cercle.

On peut remarquer que

si $M$ est à l’extérieur du cercle, $MA\times MB = OM^2 - R^2$ ;
si $M$ est à l’intérieur du cercle, $OM^2 - R^2 = -MA\times MB$ ;ce produit correspond au produit des mesures algébriques $MA$ et $MB$ .

On appelle alors puissance du point $M$ par rapport au cercle $\Gamma$ le produit des mesures algébriques $MA$ et $MB$ . Ce produit est indépendant de la droite choisie et vaut toujours $OM^2 - R^2$ .

Lorsque le point $M$ est à l'extérieur du cercle, il est possible de mener des tangentes au cercle. En appelant $T$ le point de contact d'une de ces tangentes, d'après le théorème de Pythagore dans le triangle $OMT$ , la puissance de $M$ est $MT^2$ .

L'égalité :

MA\times MB = MT^2

est suffisante pour affirmer que la droite ( $MT$ ) est tangente au cercle.

La puissance d'un point permet de vérifier que quatre points sont cocycliques : en effet, si

$A$ , $B$ , $C$ , $D$ sont quatre points tels que ( $AB$ ) et ( $CD$ ) se coupent en $M$ et
$MA \times MB = MC \times MD$ (en mesures algébriques),

alors les quatre points sont cocycliques.

Rapport des cercles inscrits

Cette section semble contenir un travail inédit ou des déclarations non vérifiées (30/08/2015). Vous pouvez aider en ajoutant des références.

Illustration de l'unique disposition de N cercles inscrits, pour N de 2 à 6.

Rayon $R'$ et surface $S'$ des 2 plus grands cercles inscrits dans le cercle de rayon $R$ et de surface $S$ :
$R' = \frac{R}{2} \,;\qquad 2\,S' = \frac{S}{2}$
Rayon $R'$ et surface $S'$ des 3 plus grands cercles inscrits :
$R' = \frac{R}{1+\sqrt{\frac{4}{3}}} \,;\qquad 3\,S' = \frac{9\,S}{7+2\sqrt{3}}$
Rayon $R'$ et surface $S'$ des 4 plus grands cercles inscrits :
$R' = \frac{R}{1+\sqrt{2}} = (\sqrt{2}-1)\,R \,;\qquad 4\,S' = \frac{4\,S}{3+\sqrt{8}}$
Rayon $R'$ des 5 plus grands cercles inscrits :
$R' = \frac{R}{1+\sqrt{2+\sqrt{\frac{4}{5}}}}$
Rayon $R'$ et surface $S'$ des 7 (ou 6) plus grands cercles inscrits (1 cercle au centre entouré de 6) :
$R' = \frac{R}{3} \,;\qquad 7\,S' = \frac{7\,S}9.$

Note et référence

↑ Voir la définition de l'adjectif rond sur le site du CNRTL.

Voir aussi

Voir la catégorie : Cercle.
Cercle généralisé (en)
Livre III des Éléments d'Euclide
Disque — Sphère — Boule

Portail de la géométrie

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