Teorema di Schwarz

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Il teorema di Schwarz è un importante teorema in analisi matematica, che afferma che (sotto opportune ipotesi) l'ordine delle derivate parziali in una derivata mista di una funzione a variabili reali è ininfluente.

[modifica] Il teorema in due variabili

Sia

$f : \Omega \subseteq \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R}$

una funzione in due variabili, definita su un aperto $Ω$ del piano $\mathbb{R}^{2}$ . Se $f$ ammette derivate seconde miste continue ( $f\in \mathcal{C}^2(\Omega)$ ) allora queste coincidono in ogni punto $p$ , cioè

$\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \equiv \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$ .

In altre parole, invertendo l'ordine di derivazione di una doppia derivazione parziale mista, il risultato non cambia.

[modifica] Esempio

Sia

f (x, y) = x 2 y 2 + y 3 x

Entrambe le derivate parziali prime sono continue. Risulta rispettivamente

f x = 2 x y 2 + y 3

f y = 2 y x 2 + 3 x y 2;

queste due funzioni sono ulteriormente derivabili e le derivate miste sono

f x y = 4 x y + 3 y 2

f y x = 4 x y + 3 y 2 .

Quindi $f x y = f y x$ .

[modifica] Conseguenze

Se una funzione ha derivate parziali continue, la sua matrice hessiana è simmetrica.

[modifica] Necessità delle ipotesi

L'ipotesi di continuità delle derivate parziali è in effetti necessaria. Si consideri ad esempio la funzione

$f(x,y)=\left\{\begin{matrix} xy \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}, & \forall (x,y) \in \mathbb{R}^2 \setminus \ (0,0) \\ 0, & (x,y) = (0,0) \end{matrix}\right.$