Strato limite (fluidodinamica)

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Zona interessata da uno strato limite laminare, dove cioé la componente verticale delle velocità è molto più piccola della componente orizzontale.

In fluidodinamica, lo strato limite è una zona ideale di un flusso dove gli effetti viscosi sono molto più marcati rispetto ad una zona esterna. Solitamente tale zona è individuata in uno strato di fluido nelle immediate vicinanze di una superficie solida.

La teoria dello strato limite si basa sull'intuizione dell'aerodinamico tedesco Ludwig Prandtl, che dimostrò poi con evidenze sperimentali agli inizi del '900, che era un'approssimazione accettabile suddividere un campo fluidodinamico in strato limite, marcatamente viscoso e con velocità più basse, e zona esterna. Per correnti ad alti numeri di Reynolds è possibile confinare gli effetti della viscosità all'interno di una zona limitata adiacente alla parete; il flusso nella zona esterna si può considerare potenziale. Questo tipo di approssimazione semplifica notevolmente le equazioni di Navier-Stokes, permettendo di ottenere soluzioni matematiche. Le equazioni di Navier-Stokes sono infatti equazioni differenziali non lineari alle derivate parziali e quindi, allo stato attuale degli studi matematici, non sono risolubili per via analitica, ma solo per via numerica.

In un problema fluidodinamico la velocità del fluido adiacente ad una superficie solida è considerata uguale alla velocità della parete stessa. A causa del fatto che la velocità varia con continuità dalla parete verso l'esterno e che il suo valore tende asintoticamente al valore esterno, lo spessore dello strato limite deve essere arbitrariamente definito, per convenzione, come lo strato di fluido all'interno del quale la velocità varia da zero fino al 99% (o 90%, o 95% a seconda della particolare convenzione che si preferisce adottare) della velocità della corrente fluida indisturbata (detta appunto "velocità asintotica").

Il modello base di questa teoria prende in considerazione l'equazione di stato dei gas perfetti:

$p = \rho R T \!\$

dove p è la pressione, ρ la densità, R la costante specifica dei gas perfetti ed infine T la temperatura in kelvin.

E le equazioni di continutà, della massa:

$\frac{d \rho}{dt} + \nabla \cdot \left( \rho \vec V \right) = 0$

dove con il vettore V si è indicato il vettore velocità, della quantità di moto:

$\frac{\partial \left( \rho u_i \right)}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x_i}\left( \rho u_i u_j + p \delta_{ij} \right) = \frac{\partial \tau_{ij}}{\partial x_i} + \rho f_i$

e dell'energia:

$\frac{\partial}{\partial t} \left[ \rho \left(e + \frac{1}{2} V^2 \right) \right] + \frac{\partial}{\partial x_i} \left[ \rho \left(e + \frac{1}{2} V^2 \right) u_i \right] = \rho f_i u_i + \frac{\partial \left( t_{ij} u_i \right)}{\partial x_j} + \frac{\partial}{\partial x_i} \left( k \frac{\partial T}{\partial x_i} \right)$ .

Il sistema delle sei equazioni (tre scalari ed una vettoriale) viene semplificato ipotizzando che lo spessore dello strato sia molto piccolo e con altre ipotesi che verranno formate a seconda del tipo di flusso preso in esame.

Indicando con δ lo spessore dello strato limite (funzione in generale di x, coordinata parallela alla parete ed al flusso) e con L una dimensione caratteristica del flusso (la lunghezza della parete o il diametro di un condotto, per esempio), si avrà certamente:

$\delta \ll L$

e perciò si può ipotizzare che le derivate rispetto ad x siano trascurabili rispetto a quelle rispetto ad y. Considerando fluidi incomprimibili (cioè a densità costante) e solo le direzioni x ed y (quindi un flusso bidimensionale) si ottengono le equazioni di Prandtl:

$\begin{cases} u_x + u_y = 0 \\ u u_x + v u_y = - \frac{1}{\rho} p_x + \nu u_{yy} \\ p_y = 0 \end{cases}$

Più propriamente la seconda equazione del sistema prende il nome di equazione di Prandtl.

Accanto allo strato limite fluidodinamico, nel caso siano presenti fenomeni di trasmissione del calore nel fluido per via convettiva, può anche essere definito uno strato limite termico, come lo strato di fluido all'interno del quale la temperatura varia dal valore "di parete" fino al 99% (o altre percentuali a seconda della convenzione, valgono infatti le stesse considerazioni presentate per lo strato limite meccanico) del valore di temperatura esterno. L'ordine di grandezza del rapporto fra lo spessore dello strato limite fluidodinamico e quello dello strato limite termico è fornito dal numero di Prandtl.

Lo strato limite, di rilevante importanza nei problemi di aerodinamica ed in particolare nello studio delle superfici alari, è estendibile anche alla meteorologia ad allo studio delle correnti atmosferiche. È dovuto all'effetto della viscosità del fluido ed è collegato all'effetto Leidenfrost e, in particolare, al valore del numero di Reynolds (Re).

All'esterno dello strato limite il valore del numero di Reynolds è sufficientemente alto; in queste condizioni la regione esterna del flusso può essere considerata come ideale (viscosità trascurabile), che soddisfa cioè le equazioni di Eulero.

Nella regione vicino ai contorni solidi, invece questa approssimazione non può essere fatta perché bisogna rispettare le condizioni al contorno, che sono la condizione di aderenza (la velocità delle particelle di fluido a contatto con la parete deve essere nulla, in inglese è indicata come no slip condition) per lo strato limite della velocità, e la continuità del campo di temperatura sulla parete per lo strato limite termico.