Sezione d'urto

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Teoria dello scattering
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La maggior parte degli esperimenti nucleari avvengono per bombardamento di un bersaglio fisso o targhetta tramite un fascio di particelle proiettili. I dati sulla diffusione (o scattering) dei proiettili permettono di risalire alla forma del bersaglio, del proiettile e al tipo di interazione presente tra le particelle.

Una misura di queste forme è possibile ottenerla grazie alla sezione d'urto, che può essere definita come il rapporto tra il numero di particelle che vengono deviate nell'angolo solido (dΩ) in 1 secondo e il numero di particelle che in 1 secondo attraversano l'unità di superficie.

La sezione d'urto ha, quindi, le dimensioni di quest'ultima.

La definizione precisa di tale quantità è:

$\operatorname {d} \sigma (\vartheta , \varphi) = \sigma (\vartheta, \varphi) \operatorname {d} \Omega = \frac {\frac{\mbox{numero di particelle}}{\mbox{tempo}} \mbox { deviate nel } \operatorname {d} \Omega}{\frac {\mbox{numero di particelle incidenti}}{\mbox {tempo } \cdot \mbox { superficie}}}$

dove Ω è l'angolo solido, θ e φ sono, rispettivamente, l'angolo rispetto all'asse x e rispetto all'asse z.

La sezione d'urto, in generale, comunque, è anche una misura della probabilità che una tale interazione possa avvenire o meno. In tal senso è possibile realizzare un calcolo più rigoroso di tale grandezza grazie alla teoria dei propagatori.

L'unità di misura della sezione d'urto è il barn, ma si utilizzano più spesso i suoi sottomultipli (millibarn, simbolo mbarn; microbarn, simbolo μbarn). Nelle unità naturali (ovvero con c = h = 1) si misura in $[e V - 2].$

[modifica] Probabilità di transizione

Un propagatore è una funzione matematica che consente di seguire l'evoluzione temporale di una particella che si muove all'interno di un campo. Per poter studiare processi di interazione tra particelle si fa, così, ricorso ad un particolare operatore, detto propagatore di Feynman, che consente di descrivere la così detta rapidità di transizione:

$w_{fi} = \frac {\left | S_{fi} \right |^2}{TV}$

dove S_fi è la matrice di Feynman (anche detta matrice S).

Con questa rapidità di transizione - che altro non è se non il rapporto tra la probabilità di transizione, ovvero il rapporto tra eventi favorevoli ed eventi possibili, e il tempo tipico della stessa, ovvero quanto tempo questa persiste - si può dare una nuova definizione di sezione d'urto:

$\operatorname {d} \sigma = \frac {w_{fi}}{\left \| \vec J_{inc} \right \|} \operatorname {d} n_f$

dove J_inc è il flusso incidente e dn_f il numero di stati finali nel cono dΩ.

[modifica] Stati finali

Il numero degli stati finali è abbastanza semplice da determinare. Supponendo che le particelle abbiano un impulso compreso tra p_f e p_f+d³p_f, il volume dello spazio delle fasi a disposizione della particella sarà Vd³p_f. Questa particella, però, occuperà solo una porzione di questo spazio. Lo spazio delle fasi, inoltre, in fisica quantistica, è un insieme di celle del volume pari ad h³=(2πh)³. Nel caso in cui si faccia la posizione h=1 (questa posizione verrà tenuta per il prosieguo della sezione), è evidente che bisognerà dividere il volume a disposizione per (2π)³, che è il volume elementare.

Ora, supponendo di avere un cubetto di volume V e lati L_j, la componente j-esima dell'impulso finale sarà:

$p_j = \frac {2 \pi}{L_j} n_j$

quindi il numero differenziale degli stati finali nella direzione j sono:

$\operatorname {d} n_j = \frac {L_j}{2 \pi} \operatorname {d} p_j$

e quindi il numero totale sarà dato da

$\operatorname {d} n_f = \operatorname {d} n_x \operatorname {d} n_y \operatorname {d} n_z = \frac {V}{(2 \pi)^3} \operatorname {d} p_f$

dove V = L_xL_yL_z.

[modifica] Flusso incidente

Il flusso incidente altro non è se non la densità delle particelle che si scontrano. Si possono definire due flussi differenti, a seconda del sistema di riferimento in cui si calcola tale flusso.

Nel sistema del laboratorio, ovvero il sistema in cui il bersaglio è fermo e i proiettili in moto, il flusso risulta:

$\left \| \vec J_{inc} \right \| = j_p \rho_t$

dove j_p è la densità di flusso delle particelle proiettile e ρ_t la densità delle particelle bersaglio.

Vediamo un esempio: supponiamo che due particelle si scontrino una contro l'altra. Definita con v_r la velocità relativa tra le particelle e con V il volume a disposizione delle stesse, la prima densità sarà pari al rapporto tra il modulo della velocità e il volume stesso, il cui inverso è anche pari alla densità del bersaglio. Di conseguenza:

$\left \| \vec J_{inc} \right \| = \frac {\left \| \vec v_r \right \|}{V^2}$

Questa espressione diventa anche il flusso incidente nel sistema del centro di massa o baricentro, ovvero il sistema in cui sia i proiettili sia il bersaglio sono in movimento, quando al posto della velocità relativa si inserisce la velocità calcolata in questo secondo sistema:

$\left \| \vec v_{r(CM)} \right \| = \left ( \frac {\left \| \vec P_a \right \|}{E_a} + \frac {\left \| \vec P_b \right \|}{E_b} \right )$

dove con P viene indicato l'impulso, e con E l'energia, mentre i pedici a e b consentono di distinguere tra i due fasci, che generalmente sono composti da particelle differenti.

[modifica] Sezione d'urto differenziale

Prima di calcolare la sezione d'urto totale, bisogna calcolare quella differenziale, che, dalle formule precedenti, risulta a questo punto essere della forma:

$\operatorname {d} \sigma = \frac {\left | S_{fi} \right |^2}{TV} \frac {1}{\frac {\left \| \vec v_r \right \|}{V^2}} \prod_f \frac {V}{(2 \pi)^3} \operatorname {d} p_f$