Punti di Lagrange

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I punti lagrangiani in un sistema a tre corpi. Le frecce colorate indicano la direzione del gradiente del potenziale generalizzato del campo.

Nel problema dei tre corpi, I punti di Lagrange, tecnicamente chiamati punti di oscillazione, altro non sono che quelle posizioni nello spazio, nell'ipotesi semplificativa in cui uno dei corpi abbia massa molto inferiore agli altri due, in cui le forze che agiscono sull'oggetto minore si bilanciano, creando una situazione di equilibrio. Questi punti sono detti di Lagrange in onore del matematico Joseph-Louis de Lagrange che nel 1772 ne calcolò la posizione.

[modifica] Descrizione dei punti lagrangiani

Nel seguito i due corpi principali saranno identificati con le loro masse M₁ ed M₂, supponendo che M₁ > M₂ (per esempio M₁ potrebbe essere il Sole e M₂ la Terra). Scegliamo un sistema di riferimento non inerziale, con origine nel centro di massa del sistema e nel quale i due corpi maggiori siano immobili. In questo sistema di riferimento compariranno perciò delle forze apparenti: la forza centrifuga e la forza di Coriolis.

[modifica] L₁

Il punto L₁ giace lungo la retta che passa per M₁ e M₂ e tra i due corpi. È il punto più facile da comprendere intuitivamente: infatti è il punto nel quale l'attrazione gravitazionale di M₂ cancella parzialmente quella di M₁.

Trascurando l'attrazione di M₂, un corpo orbitante attorno a M₁ in un'orbita più ravvicinata di M₂ avrebbe un periodo più breve, a causa della maggiore forza di gravità esercitata dal primo corpo, ma se consideriamo anche M₂, la forza totale centripeta è inferiore, causando un aumento del raggio dell'orbita e una diminuzione del periodo. Il punto L₁ si trova proprio nel punto in cui il periodo di un corpo ivi posizionato è esattamente uguale al periodo di M₂.

In astronomia il punto L₁ del sistema Sole - Terra è un'ideale punto di osservazione del Sole, in quanto in quella posizione esso non è mai eclissato dalla Terra o dalla Luna. Gli osservatori SOHO (Solar and Heliospheric Observatory) e ACE(Advanced Composition Explorer) si trovano in orbita intorno al punto L₁.

[modifica] L₂

Il punto L₂ del sistema Sole-Terra. Esso si trova ben oltre il raggio dell'orbita lunare.

Il punto L₂ giace ancora sulla stessa retta del punto L₁, ma oltre il corpo M₂, più piccolo. In questo punto la forza gravitazionale combinata dei due corpi uguaglia la forza centrifuga. Se trascuriamo l'attrazione gravitazionale dei M₂, un corpo con un raggio orbitale maggiore di M₂ subirà una forza di gravità dovuta a M₁ inferiore al secondo corpo, e perciò un periodo minore; se però consideriamo anche il campo generato da M₂, la forza centripeta aumenta, e con l'aumentare di essa diminuiscono il raggio e il periodo. L₂ si trova nel punto in cui il periodo orbitale del corpo ivi posizionato uguaglia il periodo di M₂.

Il punto L₂ del sistema Sole - Terra è un eccellente punto di osservazione dello spazio, a causa della schermatura della Terra dal Sole e dalla facilità di calibrazione. La Wilkinson Microwave Anisotropy Probe è già in orbita attorno a questo L₂, mentre i futuri Herschel Space Observatory, la sonda GAIA e il James Webb Space Telescope sono destinati a orbitarci.

Se la massa M₁ è molto maggiore della massa M₂ allora le distanze di L₁ e L₂ da M₂ sono approssimativamente le stesse, pari al raggio della sfera di Hill:

dove R è la distanza tra i due corpi. Per esempio, nel sistema Terra-Luna r è circa 61,500 km, mentre nel sistema Sole-Terra è 1,500,000 km.

[modifica] L₃

Come i due punti precedenti, anche L₃ giace sulla retta individuata da M₁ e M₂, ma oltre M₁, leggermente all'esterno dell'orbita di M₂ intorno a M₁ ma leggermente più vicino ad esso di quanto non lo sia M₂ (l'apparente contraddizione non sussiste, a causa del moto di M₁ intorno al centro di massa del sistema).

Diagramma mostrante i rapporti tra le accelerazioni gravitazionali presso L₄

[modifica] L₄ e L₅

I punti L₄ e L₅ giacciono nei terzi vertici dei due triangoli equilateri nel piano dell'eclittica aventi come base comune il segmento che unisce i centri di massa di M₁ e M₂.

Il motivo per cui questi sono punti di equilibrio è che, in ₄ e L₅, le distanze tra essi e le due masse M₁ e M₂ sono uguali: di conseguenza le forze di gravità agenti su un corpo in uno di questi due punti lagrangiani sono nello stesso rapporto delle due masse M₁ e M₂. La geometria del sistema assicura che la forza risultante sarà diretta verso il baricentro del sistema. Essendo esso sia il centro di massa che il centro della rotazione del sistema, la forza risultante è esattamente quella richiesta per tenere il corpo in equilibrio orbitale con le altre masse. (In realtà non serve che il terzo corpo abbia massa trascurabile: questa configurazione di equilibrio è stata scoperta da Lagrange mentre lavorava al problema dei tre corpi).

I punti L₄ e L₅ sono anche chiamati punti di Lagrange triangolari o punti Troiani, dal nome degli asteroidi, chiamati appunto asteroidi Troiani, situati nei punti L₄ e L₅ del sistema Sole-Giove.

Un diagramma mostrante i cinque punti lagrangiani in un sistema a due corpi con uno molto più massivo dell'altro (per esempio il Sole e la Terra). In un sistema del genere, i punti L₃, L₄ e L₅ sembrano appartenere all'orbita del corpo minore, ma in realtà sono leggermente all'esterno.

[modifica] Stabilità

I tre punti di Lagrange allineati col sistema M₁ - M₂, cioè L₁, L₂ ed L₃, sono punti di sella del potenziale, perciò basta una piccola perturbazione dallo stato di equilibrio per far sì che l'oggetto si allontani sempre più dal punto lagrangiano stesso, muovendosi lungo l'asse che unisce i corpi. Ciò tuttavia non impedisce delle orbite quasi-periodiche intorno a questi punti, chiamate Halo orbits, orbite di Lissajous (che seguono una curva di Lissajous) oppure orbite di Lyapunov.

I punti L₄ ed L₅ si trovano ai vertici dei due triangoli equilateri aventi come altri due vertici i centri di massa dei corpi M₁ e M₂. Questi punti sono in realtà dei punti di massimo di potenziale (e quindi apparenti punti di instabilità), ma in realtà possono essere stabili a causa della forza di Coriolis se è verificata la condizione:

dove M₁ e M₂ sono le masse rispettivamente del corpo di massa maggiore e del corpo di massa minore.

[modifica] Satelliti orbitanti intorno a punti di Lagrange

In astronomia, i punti lagrangiani identificano un particolare punto di un'orbita in un sistema di corpi, di un pianeta o di un satellite; i punti lagrangiani sono gli unici punti in cui si possono situare corpi minori, o gruppi di corpi minori, per condividere stabilmente l'orbita di un corpo più grande, in quanto le attrazioni gravitazionali si annullano. Situazione tipica è quella degli asteroidi Troiani, tra cui i più famosi sono quelli di Giove (recentemente sono stati scoperti i "Troiani di Nettuno") organizzati in due gruppi che condividono l'orbita del gigante, uno che lo precede di 60° e l'altro che lo segue alla stessa distanza angolare.

Degli esempi si ritrovano anche nei sistemi di satelliti: Teti, satellite di Saturno, condivide l'orbita con due piccolissime lune (Telesto e Calypso) situate nei punti lagrangiani della sua orbita. Allo stesso modo Dione, il satellite immediatamente più esterno, condividue la sua orbita con la piccolissima luna Elena in uno dei suoi punti di Lagrange.

Anche la Luna condivide la sua orbita intorno alla Terra con due oggetti, le Nubi di Kordylewski.

[modifica] Collegamenti esterni

(EN) The Lagrange Points, descrizione matematica dei punti di Lagrange.