Prodotto misto
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In algebra lineare, un prodotto misto è un'espressione in cui compaiono contemporaneamente prodotti scalari e vettoriali di vettori dello spazio tridimensionale.
[modifica] Prodotto triplo
Il prodotto misto più noto è il prodotto triplo di tre vettori a, b, c. Si tratta di una espressione in cui compare un prodotto scalare ed un prodotto vettoriale, ad esempio:
- (a × b) · c.
Il risultato è uno scalare, il cui valore assoluto non dipende dall'ordine né dei tre vettori né delle due operazioni. Il valore assoluto è pari al volume del parallelepipedo costruito sui tre vettori (oppure pari a 6 volte il volume del tetraedro costruito sui tre vettori).
Il segno del prodotto triplo dipende dall'ordine dei vettori e delle due operazioni. Una permutazione pari dei tre vettori non cambia il segno:
- (a × b) · c = (b × c) · a = (c × a) · b.
Il segno non cambia neppure se vengono scambiate le due operazioni:
- (a × b) · c = a · (b × c).
[modifica] Semplificazioni
Generalmente, un prodotto misto in cui compaiono due o più prodotti vettoriali può essere trasformato nella somma di vari prodotti misti contenenti al più un prodotto vettoriale. Ad esempio l'espressione
- a × (b × c)
può essere semplificata, imponendo una uguaglianza del tipo
- a x (b x c) = Aa(b · c) + Bb(c · a) + Cc(a · b).
con incognite A, B e C. Poiché il vettore a × (b × c) appartiene al piano formato dai vettori b e c, vale A = 0. Ponendo a = b = c = i si determina che A + B + C = 0; mentre, ponendo a = b = i e c = j si determina che C = -1. Di conseguenza è B = 1, e si è ottenuta la seguente uguaglianza:
- a x (b x c) = b(c · a) - c(a · b).
Analogamente, vale l'uguaglianza seguente:
- (a × b) · (a × c) = a2(b · c) - (a · b)(a · c)
dove a2 = a · a.
[modifica] Voci correlate
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