Potenziale di Lennard-Jones

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Il potenziale di Lennard-Jones è il più noto e il più usato dei potenziali empirici tra quelli utilizzati per descrivere l'interazione interatomica ed intermolecolare.

A separazioni interatomiche o intermolecolari molto piccole le nubi elettroniche si sovrappongono generando forze repulsive molto intense, caratterizzate da un raggio d'azione molto corto e dal fatto che crescono rapidamente all'avvicinarsi delle molecole. Per esse non esiste un'equazione ricavata teoricamente che le descrive, dunque ci si deve affidare ad alcune funzioni potenziali empiriche.

La più famosa di esse (legge 12-6), che comprende anche la parte attrattiva dovuta all'interazione di van der Waals, è il potenziale proposto nel 1931 da John Lennard-Jones all'Università di Bristol:

$\displaystyle V(r)=4 \epsilon [(\frac{\sigma}{r})^{12} - (\frac{\sigma}{r})^6]$

dove ε è la profondità della buca di potenziale e σ è il diametro della sfera che approssima l'atomo o la molecola in un modello a “sfera rigida”. Questa espressione del potenziale tiene in considerazione anche l'azione delle forze attrattive di van der Waals.

La forza viene ricavata a partire dall'espressione precedente per il potenziale (utile per simulazioni di dinamica molecolare):

$\mathbf{F}(r) = - \nabla V(r) = - \frac{d}{dr} V(r) \hat{\mathbf{r}} = 4 \epsilon \left( 12\,{\frac {{\sigma}^{12}}{{r}^{13}}}-6\,{\frac{{\sigma}^{6}}{{r}^{7}}} \right) \hat{\mathbf{r}}.$

Il potenziale di Lennard-Jones è particolarmente adatto per simulazioni di gas nobili (e particolarmente per l'argon).

Questo potenziale è il risultato di due termini: la parte che va con la sesta potenza è il contributo attrattivo delle forze di Van der Waals (forze dipolo-dipolo e forze dipolo-dipolo indotto) e prevale a distanze grandi; mentre la parte che va con la potenza di dodici descrive le forze repulsive che si instaurano a corto range fra i nuclei che, a distanze piccole non sono più ben schermati dagli elettroni, e fra gli elettroni stessi, soggetti a una forza repulsiva che si genera quando due o più di essi tendono ad occupare gli stessi numeri quantici, in opposizione al principio di Pauli. Le forze di Van der Waals hanno un range compreso fra qualche Ǻ e un centinaio di Ǻ, mentre le forze repulsive sopra citate entrano in gioco a distanze minori di qualche Ǻ.