Potenziale

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Per potenziale, in fisica, si intende il rapporto tra un'energia e il corpo origine dell'energia stessa. Ad esempio, il potenziale elettrico in un punto è il rapporto fra l'energia potenziale di una carica e la carica stessa (dove per energia potenziale si intende il lavoro necessario alla forza per spostare un corpo dal punto in cui si trova in un altro punto). L'ambito più comune in cui si utilizza il concetto di potenziale è sicuramente l'elettromagnetismo in cui appaiono due tipi di potenziale: il potenziale scalare e il potenziale vettore.

Il primo è indicato solitamente con V o con Φ, ed è tale per cui il campo elettrico si ottiene dal potenziale prendendone il gradiente cambiato di segno: $E=-\nabla V$ . Da ciò si ricava che $V=-k \cdot \frac{q}{r}\;$ nel caso di carica puntiforme. Si nota subito un'ambiguità nella definizione del potenziale. Data la linearità dell'operatore gradiente, se alla funzione V sostituiamo una funzione $V*=V+c\;$ dove c è un numero, otteniamo che il campo E (che è l'unico osservabile di tutta la nostra discussione) non varia. In effetti la libertà nello scegliere V è ancora più ampia: possiamo sommare a V una qualunque funzione scalare G a gradiente nullo e la situazione fisica non cambierebbe. Tutto questo ci indica come, fisicamente, non sia rilevante il valore del potenziale in un punto, quanto la differenza di potenziale tra il punto in esame e un punto scelto come riferimento (nei casi elettromagnetici, ad esempio, "messo a terra"). L'interpretazione fisica del potenziale si può ottenere immaginando di trasportare una carica q da un punto 1 cui compete il potenziale V(1) ad un punto 2 al potenziale V(2). Il lavoro compiuto lungo il tragitto risulta dipendere solo dagli estremi del percorso (campo vettoriale conservativo) ed è: $W=q[V(2)-V(1)]\;$ . L'introduzione di un potenziale così definito risulta comoda nel caso elettrostatico perché soddisfa automaticamente le equazioni di Maxwell nel caso statico.

Il potenziale vettore, indicato solitamente con A, è una quantità vettoriale tale che il vettore induzione magnetica B si ottiene da A prendendone il rotore: $B=\nabla \times A \;$ . Un'ambiguità sorge anche in questa definizione. Il vettore induzione magnetica risulta invariato se ad A sommiamo il gradiente di una qualsiasi funzione scalare: $A \rightarrow A+\nabla \psi\;$ . Anche qui l'introduzione del potenziale vettore definito in quel modo risulta soddisfare automaticamente le equazioni di Maxwell nel caso statico.

Nel caso elettrodinamico bisogna modificare un po' le definizioni dei potenziali in modo da ottenere che due equazioni di Maxwell risultino immediatamente soddisfatte. Per quanto riguarda A, abbiamo ancora che è definito in modo che il suo rotore sia B: $B=\nabla \times A\;$ , mentre V è definito in modo che: $\nabla V=-E-{\partial A \over \partial t}\;$ .

Un'ultima precisazione. Bisogna prestare particolare attenzione all'uso del termine potenziale. Spesso si usano locuzione del tipo "il potenziale elastico" che sono scorrette da un punto di vista rigoroso. L'espressione corretta è "l'energia potenziale elastica", una quantità diversa sia per quanto riguarda le unità di misura si per quel che concerne l'interpretazione fisica.