Numero triangolare

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In matematica, un numero triangolare è un numero naturale rappresentabile in forma di triangolo, ovvero, preso un insieme con una cardinalità (quantità di elementi) pari al numero in oggetto, è possibile disporre i suoi elementi su una griglia regolare, in modo da formare un triangolo rettangolo isoscele o un triangolo equilatero, come nella figura sotto.

1		3		6		10

[modifica] Formula di Gauss

L'n-esimo numero triangolare si può ottenere con la formula di Gauss

$T_n = \frac{n(n+1)} {2} = \binom{n+1} {2}$

Osservando che ciascuna riga del triangolo è costituita da un numero di elementi pari all'indice della riga, e contiene quindi un elemento in più della riga precedente, si verifica facilmente che che formula corrisponde a quella della somma dei primi $n\$ termini della progressione aritmetica di ragione 1.

È possibile ottenere anche una giustificazione geometrica della formula: avvicinando all'n-esimo triangolo un triangolo uguale, si ottiene un rettangolo di lati $n\$ e $n + 1\$ , che è formato da $n (n + 1)$ punti, il doppio di quelli del triangolo.

L'n-esimo numero triangolare corrisponde al numero di possibili coppie non ordinate estratte da un insieme di $n\$ elementi.

[modifica] Elenco di numeri triangolari

I primi numeri triangolari sono:

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, 276, 300, 325, 351, 378, 406, 435, 465, 496, 528, 561, 595, 630, 666, 703, 741, 780, 820, 861, 903, 946, 990, 1035, 1081, 1128, 1176, 1225, 1275, 1326, 1378, 1431.

[modifica] Relazioni con altri numeri figurati

La somma di due numeri triangolari successivi è un numero quadrato:

$n^2 \,=\, {n(n-1) \over 2} + {n(n+1) \over 2}$ ;

esistono infiniti numeri triangolari che sono anche numeri quadrati;
ogni numero naturale si può scrivere come somma di al massimo tra numeri triangolari (eventualmente ripetuti, come in $20 = 10 + 10$ ; questa proprietà fu scoperta da Gauss nel 1796, ed è un caso particolare del teorema di Fermat sui numeri poligonali;
la somma dei primi $n\$ numeri triangolari è pari all'n-esimo numero tetraedrico;
l'n-esimo numero pentagonale è un terzo del numero triangolare per $3 n - 1$ ; ogni altro numero triangolare è un numero esagonale;
la differenza tra l'n-esimo numero m-gonale e l'n-esimo numero (m+1)-gonale è uguale all'(n-1)-esimo numero triangolare.

[modifica] Altre proprietà

$T a + b = T a + T b + a b$ (somma di numeri triangolari);
$T a b = T a T b + T a - 1 T b - 1,$ (prodotto di numeri triangolari);
tutti i numeri perfetti sono triangolari;
i reciproci dei numeri triangolari formano la serie di Mengoli moltiplicata per 2; la loro somma vale pertanto 2;
il quadrato dell'n-esimo numero triangolare è uguale alla somma dei primi $n\$ cubi: