Gruppo diedrale

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

Il gruppo diedrale di ordine $2 n$ è il gruppo formato dalle isometrie del piano che lasciano immutati i poligoni regolari a $n$ lati.

L'aggettivo diedrale deriva da diedro (dal greco: solido a due facce), che a sua volta origina dalla possibilità di considerare un poligono come un solido degenere ad altezza nulla.

Il gruppo diedrale viene usalmente indicato con $D n$ ; si usano anche le notazioni $Dih n$ e $D 2 n$ .

Indice

1 Gli elementi del gruppo diedrale
2 Definizioni equivalenti
3 Proprietà
- 3.1 Proprietà che dipendono dalla parità dei lati
4 Gruppi diedrali piccoli
5 Gruppi diedrali e radici dell'unità
6 Generalizzazioni
- 6.1 Gruppo diedrale infinito
- 6.2 Gruppo diedrale generalizzato
7 Bibliografia
8 Voci correlate
9 Collegamenti esterni

[modifica] Gli elementi del gruppo diedrale

Gli elementi base del gruppo sono le rotazioni del poligono pari all'n-esima parte dell'angolo giro, e la riflessione attorno ad un asse di simmetria del poligono. Esistono in tutto $n$ rotazioni possibili e $n$ assi di simmetria per un poligono di $n$ lati, per cui il gruppo diedrale corrispondente è formato da $2 n$ elementi.

Una rotazione del pentagono di $\frac{360^\circ}{5}=72^\circ=\frac{2 \pi}{5}\mbox{rad}$

Una riflessione del pentagono attorno al proprio asse di simmetria

Indicato con $r$ la rotazione di $\frac {2 \pi}{n}$ radianti in senso antiorario, e $s$ la riflessione attorno ad uno degli assi di simmetria, valgono le seguenti relazioni:

$r n = 1$ : dopo $n$ rotazioni si ritorna sui vertici di partenza;
$s 2 = 1$ : due riflessioni consecutive si annullano;
$r k s = s r n - k$ : in particolare, il gruppo non è commutativo;
ogni simmetria si può ottenere come composizione di $s$ e di un adeguato numero di rotazioni $r$ ;
la composizione di due rotazioni o due riflessioni è una rotazione; la composizione di una rotazione e una riflessione è una riflessione.

Segue che è possibile generare tutto il gruppo da $r$ ed $s$ ; in alternativa, poiché due riflessioni consecutive sono uguali ad una rotazione, si può generare il gruppo a partire da due riflessioni $s 1$ e $s 2$ (pertanto il gruppo diedrale è di Coxeter).

Un rotazione si può ottenere come la composizione di due riflessioni

[modifica] Definizioni equivalenti

È possibile dare per il gruppo diedrale numerose definizioni equivalenti alla precedente:

è il gruppo con presentazione

$\langle r, s \mid r^n = 1, s^2 = 1, srs = r^{-1} \rangle$

oppure

$\langle s_1, s_2 \mid s_1^2 = s_2^2 = (s_1 s_2)^n = 1 \rangle$ ;

è il prodotto semidiretto dei gruppi ciclici $\mathbb{Z}_n$ e $\mathbb{Z}_2$ , con $\mathbb{Z}_2$ che agisce su $\mathbb{Z}_n$ per inversione;

[modifica] Proprietà

per $n \geq 3$ , $D n$ è un sottogruppo del gruppo simmetrico $S n$ ;
dato un numero $m$ che divide $n$ , $D n$ ha $\frac{n}{m}$ sottogruppi di tipo $D n$ e un sottogruppo di tipo $\mathbb{Z}_m$ ;

[modifica] Proprietà che dipendono dalla parità dei lati

Gli assi di simmetria di un poligono sono disposti in maniera diversa, a seconda che il numero dei suoi lati sia pari (metà degli assi passano per i vertici e metà passano per il centro dei lati) oppure dispari (ogni asse passa per un vertice e il centro del lato opposto). Questo comporta che alcune delle proprietà del gruppo diedrale associato possono variare a seconda della parità di $n$ :

il centro del gruppo, ovvero l'insieme degli elementi che commutano con tutto il gruppo, è formato dalla sola identità se $n$ è dispari, mentre contiene anche l'elemento $a^{\frac{n}{2}}$ se $n$ è pari.

se $n$ è dispari, tutte le riflessioni appartengono alla stessa classe di coniugio; se invece $n$ è pari esistono due classi di coniugio separate: le riflessioni attorno agli assi passanti per i vertici e quelle attorno agli assi passanti per i lati non sono collegabili fra di loro mediante rotazioni.

[modifica] Gruppi diedrali piccoli

Il caso $n = 1$ è considerato degenere e non è menzionato da molti autori; si può considerare come il gruppo composto dalla sola rotazione di $2π$ e dalla simmetria lungo una qualunque retta; corrisponde al gruppo $\mathbb{Z}_2$ .

Il caso $n = 2$ (simmetrie del piano che lasciano invariato un 2-agono, cioè un segmento) è generato dalla rotazione di $π$ e dalla riflessione attorno all'asse del segmento. Queste due trasformazioni, pur essendo identiche sui i punti del segmento, non lo sono per l'intero piano. Il gruppo è isomorfo a $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$ (gruppo di Klein).

$D 1$ e $D 2$ sono gli unici gruppi diedrali commutativi.

[modifica] Gruppi diedrali e radici dell'unità

L'insieme delle radici n-esime dell'unità, dato da

$\left\{ r_k = \cos \frac{2\pi k}{n} + i \sin \frac{2\pi k}{n} :\, k = 0,\,1,\, \ldots,\,n-1 \right\} \subseteq (\mathbb{C})$

sul piano complesso corrisponde ai vertici di un poligono a $n$ lati. La moltiplicazione per $r 1$ corrisponde alla rotazione di $\frac {2 \pi}{n}$ , mentre l'operazione di coniugazione complessa $\overline{x + iy} = x - iy$ corrisponde alla riflessione lungo l'asse reale. Segue che il gruppo generato a partire da queste due operazioni, con l'operazione di composizione, è il gruppo diedrale di ordine $n$ .

[modifica] Generalizzazioni

[modifica] Gruppo diedrale infinito

Il gruppo diedrale ha tra i suoi generatori una rotazione $a$ che è un multiplo razionale dell'angolo giro, per cui esiste sempre un intero $n$ per cui $a n$ è l'identità, e il gruppo generato è di ordine finito; se invece consideriamo rotazioni che non sono multiple razionali di $2π$ , non esiste alcuna loro potenza che sia l'identità; segue che il gruppo generato (indicato con $D_\infty$ ) ha infiniti elementi.

La sua presentazione è data da $\langle r, s \mid s^2 = 1, srs = r^{-1} \rangle$ oppure $\langle s_1, s_2 \mid s_1^2 = s_2^2 = 1 \rangle$ .

[modifica] Gruppo diedrale generalizzato

Dato un gruppo commutativo $H$ , il gruppo diedrale generalizzato di $H$ , che si indica con $D(H)$ , è il prodotto semidiretto di $H$ e di $\mathbb{Z}_2$ , con $\mathbb{Z}_2$ che agisce su $H$ per inversione.

Valgono cioè le regole di moltiplicazione:

$\begin{matrix} \forall h_1 ,\, h_2 \in H ,\, t_2 \in \mathbb{Z}_2 : \\ (h_1, 0) \cdot (h_2, t_2) &=& (h_1 + h_2, t_2) \\ (h_1, 1) \cdot (h_2, t_2) &=& (h_1 - h_2, 1 + t_2) \end{matrix}$

Poiché $\mbox{D}(\mathbb{Z}_n) = \mbox{D}_n$ e $\mbox{D}(\mathbb{Z}) = \mbox{D}_\infty$ , questa definizione estende quella di gruppo diedrale di un poligono. Gli elementi del tipo $(h,0)$ corrispondono alle rotazioni e formano un sottogruppo normale di $D(H)$ isomorfo ad $H$ , mentre gli elementi del tipo $(h,1)$ corrispondono alle riflessioni.