Esagono magico

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Un esagono magico di ordine n è una disposizione di numeri tra loro distinti in una tabella esagonale composta da n celle per ogni lato, in modo che la somma dei numeri in ogni riga, in ciascuna delle tre direzioni possibili, abbia come somma la stessa costante magica. Un esagono magico normale ha il vincolo ulteriore di usare gli interi consecutivi da 1 a 3n² − 3n + 1. Si può dimostrare che esistono esagoni magici normali solo per n = 1 (banale) e n = 3; inoltre, la soluzione di ordine 3 è essenzialmente unica, a meno di rotazioni e riflessioni.


Ordine 1 M = 1	Ordine 3 M = 38

L'esagono magico di ordine 3 è stato pubblicato molte volte come una "nuova" scoperta. Il riferimento più antico noto è quello di Ernst von Haselberg, nel 1887.

Anche se non esistono esagoni magici normali di ordine maggiore di 3, è possibile trovare esagoni leggermente "anormali", che cioè contengano sì tutte cifre consecutive, ma non inizino con 1. Ecco un esempio di esagoni di ordine 4 e 5, scoperti da Zahray Arsen. L'esagono di ordine 4 inizia con 3 e termina con 38; la costante magica è 111. Quello di ordine 5 inizia con 6 e termina con 66; la sua costante magica è 244. Al momento il più grande esagono magico conosciuto è stato trovato da Zahray Arsen il 22 marzo 2006: inizia con 2 e termina con 128, con una costante magica di 635.

[modifica] Dimostrazione

Ecco una traccia di dimostrazione che non possono esistere esagoni magici di ordine diverso da 1 e 3.

La costante magica M di un esagono magico normale si può determinare come segue. I numeri nell'esagono sono consecutivi, quindi la loro somma è un numero triangolare, per la precisione

$s={1\over{2}}(9n^4-18n^3+18n^2-9n+2).$

Visto che le righe possono essere in tre direzioni, ogni numero è contato tre volte, quindi la somma di tutte le righe è 3s. Ma ci sono r = 3(2n − 1) righe in un esagono, quindi la somma in ogni riga deve essere

$M={3s\over{r}}={9n^4-18n^3+18n^2-9n+2\over{2(2n-1)}}.$