Arcoseno

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

In trigonometria l'arcoseno è definito come funzione inversa del seno di un angolo. La funzione seno non è biettiva quindi non è possibile avere la sua inversa, tuttavia è possibile restringere il suo dominio in modo da renderla sia iniettiva che suriettiva e quindi invertibile. Per convenzione si preferisce restringere il dominio della funzione seno nell'intervallo $\left[-\frac\pi 2, \frac\pi 2\right]$ .

[modifica] Notazione

La notazione matematica dell'arcoseno è arcsin o arcsen; è comune anche la scrittura sin^-1, ambigua poiché indicherebbe il reciproco del seno, diverso dall'arcoseno. In diversi linguaggi di programmazione e sulle tastiere di alcune calcolatrici si utilizzano le forme ASIN e ASN.

[modifica] Proprietà

Grafico della funzione y=arcsin(x)

L'arcoseno è una funzione continua e strettamente crescente, definita per tutti i valori nell'intervallo $\left[-1, 1\right]$ :

$\arcsin: \left[-1, 1\right]\rightarrow\left[-\frac\pi2, \frac\pi2\right]$ .

Il suo grafico è simmetrico rispetto all'origine degli assi cartesiani, essendo $\arcsin x=-\arcsin\left(-x\right)$ .

La derivata della funzione arcoseno è

$\frac{d}{dx}\arcsin x=\frac1\sqrt{1-x^2}$ .

La serie di Taylor corrispondente è

$\arcsin x= \sum_{k=0}^\infty{-\frac12\choose k}(-1)^k\frac{x^{2k+1}}{2k+1} =x+\frac16x^3+\frac3{40}x^5+\frac5{112}x^7+\cdots$ .

Per via della già descritta simmetria vale la relazione per argomenti negativi:
$\arcsin\left(-x\right)=-\arcsin x$ .

Inoltre è possibile combinare la somma o differenza di due arcoseni in un'espressione dove l'arcoseno figura una volta sola:

$\arcsin x_1\pm\arcsin x_2= \begin{cases} X& \pm x_1x_2\le0\lor x_1^2+x_2^2\le1\\ \pi-X& x_1>0\land\pm x_2>0\land x_1^2+x_2^2>1\\ -\pi-X& x_1<0\land\pm x_2<0\land x_1^2+x_2^2>1 \end{cases}$

con $X=\arcsin\left(x_1\sqrt{1-x_2^2}\pm x_2\sqrt{1-x_1^2}\right)$ .

[modifica] Applicazioni

In un triangolo rettangolo l'ampiezza in radianti di un angolo acuto equivale all'arcoseno del rapporto fra il suo cateto opposto e l'ipotenusa.

Trigonometria
Funzione trigonometrica \| Funzione trigonometrica inversa Seno \| Coseno \| Tangente \| Cotangente \| Secante \| Cosecante Arcoseno \| Arcocoseno \| Arcotangente \| Arcocotangente \| Arcosecante \| Arcocosecante Teorema dei seni \| Teorema del coseno \| Funzioni iperboliche \| Identità trigonometrica

Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che parlano di matematica

Categoria: Trigonometria

Arcoseno

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

[modifica] Notazione

[modifica] Proprietà

[modifica] Applicazioni

Views

Navigazione

comunità

Ricerca

Altre lingue