Arcocoseno

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In trigonometria l'arcocoseno Ã¨ definito come funzione inversa del coseno di un angolo. La funzione coseno non Ã¨ biiettiva, quindi non invertibile. Ãˆ possibile, perÃ², applicare un restringimento del dominio in modo da renderla sia iniettiva che suriettiva. Per convenzione si preferisce restringere il dominio della funzione coseno nell'intervallo $\left[0, \pi\right]$ .

[modifica] Notazione

La notazione matematica dell'arccoseno Ã¨ arccos; Ã¨ comune anche la scrittura piuttosto ambigua cos^-1. In diversi linguaggi di programmazione e sulle tastiere di alcune calcolatrici si utilizzano le forme ACOS e ACS.

[modifica] ProprietÃ

Grafico della funzione y=arccos(x)

L'arcocoseno Ã¨ una funzione continua e strettamente decrescente, definita per tutti i valori nell'intervallo $\left[-1, 1\right]$ :
$\arccos: \left[-1, 1\right]\rightarrow\left[0, \pi\right]$ .
Il suo grafico Ã¨ simmetrico rispetto al punto $\left(0,\frac\pi 2\right)$ , essendo $\arccos x=\pi-\arccos\left(-x\right)$ .

La derivata della funzione arcocoseno Ã¨
$\frac{d}{dx}\arccos x=-\frac1\sqrt{1-x^2}$ .

La serie di Taylor corrispondente Ã¨
$\arccos x= \frac\pi 2-\sum_{k=0}^\infty{-\frac12\choose k}(-1)^k\frac{x^{2k+1}}{2k+1}= \frac\pi 2-x-\frac16x^3-\frac3{40}x^5-\frac5{112}x^7-\cdots$ .

Per via della giÃ descritta simmetria vale la relazione per argomenti negativi:
$\arccos\left(-x\right)=\pi-\arccos x$ .

Inoltre Ã¨ possibile combinare la somma o differenza di due arcocoseni in un'espressione dove l'arcocoseno figura una volta sola:
$\arccos x_1+\arccos x_2= \begin{cases} \arccos\left(x_1x_2-\sqrt{1-x_1^2}\sqrt{1-x_2^2}\right)& x_1+x_2\ge0\\ 2\pi-\arccos\left(x_1x_2-\sqrt{1-x_1^2}\sqrt{1-x_2^2}\right)& x_1+x_2<0 \end{cases}$
$\arccos x_1-\arccos x_2= \begin{cases} -\arccos\left(x_1x_2+\sqrt{1-x_1^2}\sqrt{1-x_2^2}\right)& x_1\ge0 x_2\\ \arccos\left(x_1x_2+\sqrt{1-x_1^2}\sqrt{1-x_2^2}\right)& x_1<x_2 \end{cases}$ .

[modifica] Applicazioni

In un triangolo rettangolo l'ampiezza in radianti di un angolo acuto equivale all'arcocoseno del rapporto fra il suo cateto adiacente e l'ipotenusa.

Trigonometria
Funzione trigonometrica \| Funzione trigonometrica inversa Seno \| Coseno \| Tangente \| Cotangente \| Secante \| Cosecante Arcoseno \| Arcocoseno \| Arcotangente \| Arcocotangente \| Arcosecante \| Arcocosecante Teorema dei seni \| Teorema del coseno \| Funzioni iperboliche \| IdentitÃ trigonometrica

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Categoria: Trigonometria

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