Anticlessidra

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

Questa voce di matematica non corrisponde agli standard minimi di Wikipedia: contribuisci ad aiutarla. Se non aiutata, la voce potrà essere proposta per la cancellazione dopo 10 giorni.
Motivo: minima. Vedi anche: Progetto matematica e Portale matematica. Segnalazione di Maquesta ^Belin 17:05, 22 feb 2008 (CET)

L'anticlessidra è quel solido che si ottiene sottraendo ad un cilindro equilatero due coni simmetrici rispetto al punto medio del segmento che congiunge i centri delle basi del cilindro ed aventi per base le basi del cilindro.

Indice

1 Teorema

[modifica] Teorema

Il disegno di un'anticlessidra.

[modifica] Tesi

Una sfera inscritta nel cilindro ha lo stesso volume dell'anticlessidra.

[modifica] Dimostrazione

Data un'anticlessidra, prendere una sfera di centro $O\,$ , coincidente con i vertici dei coni dell'anticlessidra, e di raggio pari al raggio di base dell'anticlessidra. Vogliamo dimostrare che la sfera è equivalente all'anticlessidra.

A tal fine sezioniamo i nostri solidi con un piano qualunque parallelo alle basi dell'anticlessidra. Se il piano passa per il centro della sfera, interseca la sfera e l'anticlessidra secondo lo stesso cerchio massimo della sfera. Se il piano $\alpha \,$ è posto alla distanza $OH\,$ dal centro della sfera, esso taglia la sfera secondo un cerchio di raggio $HA\,$ e l'anticlessidra secondo la corona circolare compresa tra le circonferenza di centro $H\,$ e raggi $HB\,$ e $HA\,$ .

Vista frontale.

Sezione meridiana.

Si osservi che la misura dell'area del cerchio di raggio $HA\,$ è $\pi \overline {HA}\ ^2$ e quella della corona circolare è $\pi \left ( \overline {HC} ^2 + \overline {HB} ^2 \right)$ .

Ma $HC\,$ è congruente al raggio della sfera e pertanto è $HC \cong OA$ .

D'altra parte, siccome il raggio della base del cono è congruente alla sua altezza, si ha pure $HB \cong OH$ .

Perciò la misura dell'area della corona circolare è $\pi \left (\overline {HC} ^2 - \overline {HB} ^2 \right) = \pi \left (\overline {OA} ^2 - \overline {OH} ^2 \right)$ .

Nel triangolo $OHA\,$ , rettangolo in $H\,$ , si ha, per il teorema di Pitagora, $\overline {OA} ^2 - \overline {OH} ^2 = \overline {HA} ^2$ .

Sostituendo in $\pi \left (\overline {HC} ^2 - \overline {HB} ^2 \right) = \pi \left (\overline {OA} ^2 - \overline {OH} ^2 \right)$ si ha che la misura dell'area della corona circolare è $\pi \overline {HA} ^2$ e risulta così uguale alla misura dell'area del cerchio della sezione della sfera.

Cerchio e corona sono pertanto equivalenti e il principio di Cavalieri ci assicura allora che sfera e anticlessidra sono equivalenti, come volevasi dimostrare.