Vida mitjana

De Viquipèdia

Donada una mostra de partícules, el temps de vida mitjà o vida mitjana d'una partícula és el temps que transcorre entre un temps de referència i la desaparició d'aquella partícula de la mostra. Normalment, aquest terme s'utilitza relacionat amb el decaïment exponencial.

En física nuclear, el terme «vida mitjana» ens dóna una idea del valor mitjà del temps d'existència d'un radioisòtop abans de desintegrar-se. No s'ha de confondre amb el període de semidesintegració; són termes relacionats però diferents.

[edita] La vida mitjana en el decaïment exponencial

Tal i com mostren els càlculs (a baix), la vida mitjana τ d'uns elements el nombre dels quals decau exponencialment és igual a la inversa de la constant de desintegració λ. Per tant, és el temps necessari perquè el nombre d'elements es redueixi en un factor e i es relaciona amb el període de semidesintegració $t 1 / 2$ segons la fòrmula següent:

$t_{1/2} = \tau \cdot \ln 2$

[edita] Càlcul de τ

Notació:

N(t) és el nombre d'elements de la mostra a l'instant de temps t.
$N 0$ és el nombre inicial (a t = 0) d'elements de la mostra.
λ és la constant de desintegració.

Durant un període diferencial de temps dt, el nombre d'elements que desapareixen de la mostra dN és igual però de signe oposat a la variació de població de la mostra:

$-dN = N(t) \lambda dt \,$

(suposem que λ és constant)

La solució d'aquesta equació diferencial ens dóna la variació de la població amb el temps:

$N(t) = N_0 e^{-\lambda t} \,$

Per a calcular la vida mitjana τ, és a dir, la duració promig d'una partícula d'entre el conjunt de partícules inicials, podem fer:

$\tau = \frac{\int_{0}^{\infty} t N(t) dt}{\int_{0}^{\infty} N(t) dt} = \frac{\int_{0}^{\infty} te^{-\lambda t}\, dt}{\int_{0}^{\infty} e^{-\lambda t}\, dt}$