Web Analytics Made Easy - Statcounter

[HOME PAGE] [STORES] [CLASSICISTRANIERI.COM] [FOTO] [YOUTUBE CHANNEL]

Tensi?? (mec??nica) - Viquip??dia

Tensi?? (mec??nica)

De Viquip??dia

En f??sica i enginyeria, es denomina tensi?? mec??nica al valor de la distribuci?? de forces per unitat d'??rea, en l'entorn d'un punt material i dins d'un cos material o un medi continu.

Taula de continguts

[edita] Tensi??

Etimol??gicament ve del llat?? tensio, -onis i es pot definir com l'acci?? o l'efecte de tibar o estirar fins a la rigidesa. La tensi?? ??s una for??a de reacci?? aplicada per una corda estirada (una corda o un objecte similar) als objectes que l'estiren. La direcci?? de la for??a de tensi?? ??s paral??lela a la corda.

La tensi?? existeix tamb?? dins de la corda mateixa: si es considera que la corda es compon de dues parts, la tensi?? ??s la for??a que les dues parts de la corda apliquen l'una en l'altra. La quantitat de tensi?? a la corda determina si es trencar??, aix?? com les seves propietats vibrat??ries que s'utilitzen en instruments musicals.

La magnitud de la for??a de tensi?? augmenta de manera t??pica amb la quantitat d'estirament. En molts materials, quan l'estirament ??s petit, la for??a ??s proporcional a l'estirament (Llei de Hooke).

[edita] Tensi?? uniaxial

Un cas particular ??s el de la tensi?? uniaxial, que es defineix en una situaci?? en la qual s'aplica una for??a F uniformement distribu??da sobre una ??rea A. En aquest cas la tensi?? mec??nica uniaxial es representa per un escalar designat amb la lletra grega ?? (sigma) i ve donada per:

\sigma=F/A \,

Sent les unitats [Pa] (pascal = [N/M??]), [MPa] =106 [Pa] (i tamb?? [kp/cm??]).

La situaci?? anterior pot estendre's a situacions m??s complicades amb forces no distribu??des uniformement en l'interior d'un cos de geometria m??s o menys complexa. En aquest cas la tensi?? mec??nica no pot ser representada per un escalar.

Si es considera un cos sotm??s a tensi?? i s'imagina un tall mitjan??ant un pla imaginari que el divideixi en dos, sobre cada punt del pla de tall es pot definir un vector tensi?? t que dep??n de l'estat tensional intern del cos, de les coordenades del punt escollit i del vector normal n. En aquest cas es pot provar que t i n estan relacionats per una aplicaci?? lineal T o camp tensorial anomenat tensor tensi??:

{t_\pi} = {T(n_\pi)} \,

[edita] Problemes unidimensionals

La idea original de tensi?? es va originar en dues simples observacions sobre el comportament de cables d'acer:

  1. Quan un cable s'estira sota l'acci?? d'una for??a F, per a valors sota de cert l??mit F < Fc, s'observa que l'allargament ??L ??s proporcional a la c??rrega F dividida per l'??rea de la secci?? transversal A del cable. Si es definia s = F/A, l'allargament L era proporcional a ??: L= k??s.
  2. La fallada en la resist??ncia del cable succe??a quan la c??rrega F superava un cert valor Fc que depenia del material del cable i de l'??rea de la secci?? transversal: Fc = ??t A.

Aquestes observacions suggerien que la caracter??stica fonamental que afecta a la deformaci?? i la fallada en la resist??ncia dels materials ??s la magnitud s, que es va anomenar "tensi?? enginyeril". Mesures m??s precises van fer notar que la proporcionalitat entre tensi?? enginyeril i l'allargament no era exacta perqu?? durant l'estirada del cable la secci?? patia un estrenyiment, per la qual cosa A disminu??a lleugerament. Tanmateix, si es definia la tensi?? real ?? = F/A' on A' representa ara l'??rea verdadera sota la deformaci??, llavors s'observava una proporcionalitat perfecta per a valors m??s petits de F.

El coeficient de Poisson es va introduir per mostrar la relaci?? entre l'??rea inicial A i l'??rea deformada A'. La introducci?? del coeficient de Poisson en els c??lculs estimava correctament la tensi?? en tenir en compte que la for??a F es distribu??a en una ??rea una mica m??s petita que la secci?? inicial, el qual fa que ?? > s.

[edita] Principi de Cauchy

Sigui B \,, un medi continu deformat, llavors en cada subdomini V \subset B \,, camp vectorial t \,,, anomenat camp de tensions, de manera que les forces de volum f\in \Bbb{R}^3 i el camp de tensions t\in \Bbb{R}^3 satisfan les seg??ents equacions d'equilibri:

\int_{V} f(\mathbf{x}) dV + \int_{\partial V} t(\mathbf{x},n) dA = 0
\int_{V} \mathbf{x} \times f(\mathbf{x}) dV + \int_{\partial V} \mathbf{x} \times t(\mathbf{x},n) dA = 0

Aquest principi va ser enunciat per Augustin Louis Cauchy en la seva forma m??s general, encara que pr??viament Leonhard Euler havia fet una formulaci?? menys general. D'aquest principi pot demostrar-se el teorema per al tensor tensi?? que postula que el principi de Cauchy equival a l'exist??ncia d'una aplicaci?? lineal, anomenada tensor tensi?? T\in C^1(B,\Bbb{R}^3) amb les seg??ents propietats:

  1. t(\mathbf{x},n) = [T(\mathbf{x})](n),
  2. div T(\mathbf{x}) + f(\mathbf{x}) = 0,
  3. T(\mathbf{x}) = T^T(\mathbf{x})


[edita] Tensi?? normal i tensi?? tangencial

Si ens fixem en un punt concret d'un cos sotm??s a tensi?? i s'imagina un tall mitjan??ant un pla imaginari que el divideixi en dos, queda definit un vector tensi?? t?? que dep??n de l'estat tensional intern del cos, de les coordenades del punt escollit i del vector normal n?? en relaci?? al pla definit mitjan??ant el tensor tensi??:

{\mathbf{t}_\pi} = {T(\mathbf{n}_\pi)} \,

Usualment aquest vector pot descompondre's en dos components que f??sicament produeixen efectes diferents segons que el material sigui m??s d??ctil o m??s fr??gil. Aquests dos components s'anomenen components intr??nsecs del vector tensi?? respecte al pla i s'anomenen "tensi?? normal" o perpendicular al pla i "tensi?? tangencial" o rasant al pla, aquests components v??nen donats per:

\begin{cases} \sigma_\pi = \mathbf{t}_\pi \cdot \mathbf{n}_\pi \\ \tau_\pi = ||\mathbf{t}_\pi \times \mathbf{n}_\pi|| \end{cases} \Rightarrow \qquad ||\mathbf{t}_\pi||^2 = \sigma_\pi^2 + \tau_\pi^2

An??logament quan existeixen dos s??lids en contacte i s'examinen les tensions entre dos punts dels dos s??lids, es pot fer la descomposici?? anterior de la tensi?? de contacte segons el pla tangent a les superf??cies d'ambd??s s??lids, en aquest cas la tensi?? normal t?? relaci?? amb la pressi?? perpendicular a la superf??cie i la tensi?? tangencial la t?? amb les forces de fricci?? existents entre ambd??s.

[edita] Unitats

La unitat del Sistema Internacional d'Unitats per a la tensi?? ??s el pascal, la mateixa que per a la pressi??. At??s que el pascal ??s molt petit, les quantitats usades en enginyeria es mesuren habitualment en megapascals (MPa) o gigapascals (Gpa).

[edita] Bibliografia

  • Luis Ortiz Berrocal: Resistencia de materiales, Ed. McGraw-Hill/Interamericana de Espa??a, Madrid, 1990.
  • Dietrich Braess: Finite Element, pp.250-251, Cambridge University Press, Cambridge UK, 1997.
  • Dieter, G. E. (3 ed.). (1989). Mechanical Metallurgy. New York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-100406-8.
  • Love, A. E. H. (4 ed.). (1944). Treatise on the Mathematical Theory of Elasticity. New York: Dover Publications. ISBN 0-486-60174-9.
  • Marsden, J. E., & Hughes, T. J. R. (1994). Mathematical Foundations of Elasticity. New York: Dover Publications. ISBN 0-486-67865-2.


[edita] Enlla??os externs