Reducció d'ordre

De Viquipèdia

En matemàtiques, la reducció d'ordre és una tècnica utilitzada per resoldre equacions diferencials ordinàries de segon ordre. Es fa servir quan la primera de dues solucions (y₁) és coneguda i es busca la segona (y₂).

[edita] Ús

Donada una equació diferencial

i una sola solució (y₁(t)), i sigui la segona solució definida per

on v(t) és una funció arbitrària. Així,

i

Si se substitueixen per y, y', i y'' a l'equació diferencial, llavors

Com que y₁(t) és solució de l'equació diferencial original, y₁''(t) + p(t)y₁'(t) + q(t)y₁(t) = 0, es pot reduir a

que és una equació diferencial de primer ordre per v'(t). Dividint per y₁(t), s'obté

i v'(t) es pot trobar fent servir el mètode general. Un cop s'ha trobat v'(t), s'integra i se substitueix a l'equació original per y₂:

[edita] Referències

• (anglès) W. E. Boyce and R. C. DiPrima, Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems (8th edition), John Wiley & Sons, Inc., 2005. ISBN 0-471-43338-1.
• (anglès) Eric W. Weisstein, Second-Order Ordinary Differential Equation Second Solution, From MathWorld--A Wolfram Web Resource.